操作中建构  想象中提升

-----《展开与折叠》的二次教学实践与思考

                             

【案例背景】

构建“优质高效”课堂是深化课堂教学改革的目标之一，我校围绕这一主题开展了形式多样的校本研究。数学组在“空间与图形”领域进行重点探索，尝试用“做数学”的方式，让学生在操作中构建，想象中提升，提高动手实践能力，发展空间观念。《数学课程标准》在阐述“空间与图形”的内容时，大量使用“探索……性质”这样的句型，要求学生在“做数学”的活动中，通过自主探索认识和掌握图形性质，掌握基本的数学思想和方法,积累数学活动的经验，发展空间观念和推理的能力。那么如何引导学生有效操作，构建新知的认识，又如何借助适当想象来帮助学生建立相应的空间观念呢？我们教研组选择《展开与折叠》这课进行了磨课研讨。

《展开与折叠》是一节实践活动课，在本单元中位于长方体的认识和长方体表面积之间，起着承上启下的作用。经过对教材的分析和对学生知识基础与生活经验的了解。我们确定了这样的教学目标：

1．通过动手操作的探索活动，了解“什么是展开，什么是折叠”，掌握长方体和正方体展开图的特点。

2．通过探索活动感受立体图形和平面图形之间的相互转化，建立长方体或正方体立体图中的面与展开图中的面的对应关系，培养空间想象力，发展空间观念。

3．在展开与折叠、展示交流与汇报活动中渗透数学的对应思想。在操作的过程中学会与人合作，学会交流自己的思维方法。

 

【案例描述与分析】

第一次教学：

根据以上教学目标，我在教研组内进行了第一次教学，教学过程如下：

一、创设情境，提出问题：

1、欣赏包装盒图片。

2、包装盒都见过吗？一般是什么形状的呢？

（设计意图：引导学生从生活中的问题入手，引起学生探究的需要，发挥其学习的主动性，为本节课探索活动的展开做铺垫。）

二、动手探索，总结规律

（一）认识长方体、正方体的展开图：

1、 师生共同展开长方体包装盒。

教师向学生揭示什么是展开图：请看，像这样沿着棱剪开（放下其中一个面），使这个长方体完全的展开，得到一个六个面互相连接的平面图形，我们叫做长方体的展开图。

（设计意图：教师展开长方体，是为学生指出前进的方向，也是为学生展开想象，把立体图形转化成平面图形积累初步表象。）

2、引导学生理解展开图中面的对应关系。

3、活动一：剪一剪

（1）组内剪开学具。

（2）汇报并展示展开图。

（3）引出问题：长方体或正方体的展开图是唯一的吗？

（设计意图：让学生经历展开的过程，同学的合作和要求展开的结果尽量不相同给了学生展开过程中思考的空间，有利于培养学生的空间观念。）

（二）正方体的展开与折叠：

1、活动二：折一折

（1）学生用6个相同的正方形拼、摆，再折叠。体验展开图的多样性。

（2）汇报交流。

（3）教师小结：正方体（长方体）的展开图具有不唯一性。

（设计意图：创设情境，给予学生折叠的需要。学生经历把平面图形折叠成立体图形的过程，感受立体图形与平面图形的相互转化。）

2、小结探索过程。

小结：通过前面的活动，我们认识了正方体的展开图，经过反复的展开与折叠（板书课题），知道了展开图上的面与正方体上的面的对应关系。

三、练习应用，巩固提高

1、课本上16页，17页的练一练第1题，第2题。（投影出示）

先想想下面的展开图，能不能折叠成正方体，为什么？

2、看图找相对的面（投影出示），并请介绍“你是怎么想的？”

（设计意图：通过练习第一题让学生经历再次折叠、判断的过程，并且感受长方体的展开图与正方体展开图的区别，认识长方体展开图的特点。通过第二题，请学生描述自己想的过程，感受正方体中的面与展开图中的面的对应关系。）

四、课堂总结 畅谈感受

   教师问：“学习到这里，你有什么发现，有什么收获，心中还有什么疑问？”

五、课外探索 发散思维

1、看立体图想展开图

2、设计并制作：运用本节课的知识，发挥想象设计一个立体图形，并制作出来。

（设计意图：这两道练习题的设计，是给学生一个开放的思考空间，把已经初步形成的空间观念进一步巩固加深。）

 

第一次教学后的辩课与思考

评课中，老师们对学生是否掌握了一个平面图形能否折叠成长方体、正方体的方法进行了争辩。

有的老师认为本节课通过剪一剪、折一折、比一比、画一画等环节，用边操作边讲解的动态学习方法，使学生经历了反复的展开与折叠的过程，建立体与面的转换模型，感悟并初步认识立体图中的面与展开图中的面的对应关系，从而培养其空间观念。通过一系列的操作活动，学生已经建立起展开图与立体图形之间的关系。

可大多数老师却认为本节课内容对学生的空间观念要求比较高，许多学生感到困难，尽管充分利用附页中的材料与实际的包装盒，学生确实也经历了操作，但仅有操作是远远不够的，要在操作中不断地引导学生观察、比较并想象，找准立体图形与平面图形之间的对应关系，只有安排适当的想象环节，才能让学生在操作的基础上有所提升。否则让人觉得浮于表面，没有进行深层次的研究，因为没有在操作的基础上有所提升，形成相应的空间观念，学生掌握的不到位，也就达不到优质高效课堂的要求。

经过辩课，大家认为像这种空间与图形的课，不仅要让学生充分操作，体验并构建表象的认识，更要引导在想象中提升空间观念与推理能力。另外。操作是十分耗时的，且正方体的展开与折叠比长方体更要抽象更难一些。我们可以把剪正方体的展开图放到课前，让学生先去剪一剪。

第二次教学

根据大家的讨论意见，再次设计教学过程，在保持原有精彩的环节的基础上，我们重新调整了导入与正方体的展开与折叠的教学环节。

……

一、   活动1：看一看、想一想。

（课前让展开与折叠的动画过程进行自动播放）

 

师：刚才我观察到很多同学都被课件上的动画吸引了，谁能用描述一下这个正方体的状态。(展开与折叠)对了，象这个正方体可以展开、又可以重新折叠，那其它正方体是不是也可以这样呢？它的展开与折叠又有什么规律吗？这就是我们这节课要研究的问题。(引入课题)

二、活动2：折一折、想一想、标一标、示一示。

折一折

师：为了让我们的课堂有更多时间交流探讨问题，老师让你们在课前找出正方体，并剪出了它们的展开图。现在请你们拿出来，准备好。

师：现在，请你们拿出一个正方体的展开图，观察一下：展开图的各个面是什么形状？为什么？各个面的边与正方体的棱有什么联系？

想一想

现在请同学们拿着正方体展开图，重新折叠起来，再慢慢展开，想象着：正方体的每个面跑到哪去了？相对的面跑到哪里去了？要注意，这里的操作不要太快，要认真地想象。你是否在认真地想象，老师是可以从你的状态看出来的。自己的操作完毕与同桌互换再进行操作。

标一标

师：把相对应的面用相同的符号标出来。

示一示

刚才是边操作边想象，现在老师要提高要求了，让你看着展开图想象折叠的过程，看着正方体想象展开的过程。(学生看、想--课件演示。重复两遍)

课前同学们准备了各种正方体的展开图，现在我们在小组里进行分享。

请注意：

1、检查这些展开图是否均是正方体的展开图。

2、选择两个其他同学的展开图进行展开与折叠的过程。

3、统计出小组里共有几种正方体的展开图（重复的不算），评选出优秀作品。学生小组里交流，师巡视参与。

各小组推荐优秀作品进行展评，注意把学生的作品作为考验学生观察能力及空间观念的载体。师：请观察这些展开图是否都能折叠成正方体？有没有重复的情况？

活动3:比一比、思一思。

比一比

师：老师这里还有两个作品，跟这里面的都不同，也放到这里吧，行吗？

           

让学生分析思考后发现，不能折叠成正方体，通过对比知道并不是6个正方体连在一起就一定能折成正方体的，从而充实感性认识，提高理性认识。

思一思

师：看着同学们这么多的优秀作品，老师很高兴，同时也产生了一个问题。这些正方体的展开图中，它们是否存在什么规律呢？

 (学生思考后回答，学生不一定说得很完整，只要能用自己的语言表述即可。在操作想象后引导学生进行理性的观察与分析。)

“第一行最多一排都有四个正方形的情况等”分类方法，在师生共同探讨中将展开图归类为“141型（6种）”“231型（或132型3种）”“33型（1种）”“222型（1种）”。

 

【思考】

一、在操作中构建对应关系

 “展开与折叠”这节课主要目的是通过动手操作，让学生知道长方体、正方体的展开图，加深对长方体、正方体的认识；在想象、操作等活动中，找到立体图形与平面图形中的面对对应关系，发展其空间观念，激发学习数学的兴趣。教学中，教师充分利用教材附页中的材料与长方体的实物，让学生剪一剪、折一折，帮助学生操作、思考、判断，逐步构建起对长方体、正方体展开图的认识，从而建立表象。学生的操作也不是盲目地动手做，而是有目的的在教师合理地引导下操作，如学生在剪、拆盒子时，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图。教师就先示范剪成展开图，再让学生模仿着剪。无论是长方体的展开，还是正方体的折叠，每个学生都亲历整个操作过程，在操作中感悟到“什么是展开”， “什么是折叠”。由于剪的方法不同，展开的形状也可能是不同的。

操作是学习这一内容的基础，它是构建知识最原始的方法，但学习的最终目的是脱离实物操作，能通过观察、想象来判断平面图形是否是某个立体图形的展开图，或某个展开图能否折叠成长方体、正方体。因此，在教学中，建立长方体或正方体中的面与展开图中的面的对应关系是十分关键与重要的。在第二次教学中，教师用“标一标”的方式，让学生把相对应的面用相同的符号标出来，在操作中有效地突破了这一难点，更好地帮助学生构建起立体图形与平面图形之间的对应对策。

二、在想象中形成空间观念

操作的目的是促进学生建立表象，帮助学生理解并发展空间观念。因此，在实物操作的基础上，引导“观察想象实物展开或折叠的过程”，甚至“闭上眼睛想象”都是十分必要的。学生只有不断地经历想象、验证的过程，才能建立起表象，形成空间观念。

在第二次教学中，教师就十分重视想象的过程，如：“想一想”中，要求想象：正面跑到哪里去了？相对的面跑到哪里去了？还要求操作要慢，但要认真想象。在操作想象的基础上，进行“示一示”，让学生看着展开图想象折叠的过程，和展开的过程，并借助课件的展示强化空间观念的形成。

三、在分类中提升规律性认识

在第二次教学中，教师在展示学生作品的基础上，分类出示了11种正方体的展开图，引导学生发现一些规律地认识。这是一个值得商榷的环节。首先我们要正确地理解并运用这一分类。因为，这里的展开图只是用于发展学生空间观念的载体，在学生交流时，可以通过展示图让学生观察想象。但不宜把它作为一个知识点来教学，更不宜让学生去记忆。因为形式上的记忆、识别并不能真正起到学生发展空间观念的作用，背离了本课的教学目标。其次，我们要站在学生的角度去看，学生能否发现这些规律，当分类呈现后，能否从中得一些启发，来帮助学生更好、更准确地判断一个展开图与立体图之间的对应关系。再次，发现规律的定位必须十分慎重，不能让发现规律、熟记规律成为这节课的主线，操作与想象的过程仍应该是这节课中牢牢把握的重点过程，这是他们空间观念形成的重要途径。