柯西与魏尔斯特拉斯对数列极限的定义

柯西的定义

    设有数列{xn}，如果当n趋于无穷大时，xn无限接近于一个常数a，则称a是数列{xn}的极限，或数列{xn}收敛于a，记为

或

魏尔斯特拉斯的定义

​    设{xn}为是一给定的数列，a是一个实数。如果对于任意给定的ε＞0，都存在正整数N，使得当n＞N时，成立

​

则称数列{xn}收敛于a(或a是数列{xn}的极限)，记为

​

或

​

如果不存在实数a使{xn}收敛于a，则称数列{xn}发散。

    尽管两种定义意思差不多，但柯西的定义中“趋于无穷大”和“无限接近于”是一种含糊的说法，而魏尔斯特拉斯用“ε-N”语言对极限给出了严格的定义。