【2022开封一模15】【函数背景下求阴影面积最值】【几何综合】

模拟卷

2022

试题内容

如图，直线=2+3与两坐标轴分别交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过P作轴的平行线，交直线=+4于Q，△OPQ绕点O逆时针旋转30°，边PQ扫过区域(阴影部分)面积的最大值为 .

容斥原理→面积转化

从图中可以看出：
S+S+S=S+S
∴S=S-S.

函数模型求最值

根据一次函数=2+3求得：
点A的坐标为(-,0)，点B的坐标为(0,3)，
∴-≤≤3；
设点P的坐标为(,2+3)，
则点Q的坐标为(,+4)，
∴OQ=+(+4)=2+8+16，
OP=+(2+3)=5+12+9，
∴S=-
=(-3-4+7)，
当=-=-时，S取得最大值，
最大值为：.

此题综合性很强，既考查了容斥原理求阴影面积，又考查了建立函数模型求面积最值.

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段.

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