周三的工作室活动，让我深受启发。无论是刘德武老师的课例，还是各位同仁的发言，都使我对自己有了更深刻的认识，对数形结合的思想理解的不够透彻，运用的也不够自如。于是，我便走进了有关数形结合思想的世界，以便提高自己的知识水平。
一、有效教学与数形结合思想的辩证关系，有数学思想的教学才有效。有效教学是方法，知识是载体，数学思想的建立是根本目的。
1、教师遵循一定的教育、教学规律，以尽可能少的时间、精力、教学设施的投入，取得尽可能多的教学效果，这就是有效教学。简言之，就是要提高课堂教学效率。有效教学通过“分析、处理、探索、解决”等数学手段和工具，以学科知识的理解、掌握为载体，通过引导、扶持、点拨，实现知识、空间观念、数学思想的建构。
2、数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。数学思想比一般的数学概念更抽象、更概括，也更本质、更深刻。
任何教学方法都是在一定的教学思想指导下进行的。各种教学方法无不体现着一定的数学思想。数学思想、数学方法、解题技巧、解题过程是教育教学的四个重要方面。无论是数学概念的建立、数学规律的发现，还是数学问题的解决，乃至整个“数学大厦”的构建，其核心在于数学思想的培养和建立。所以，数学教师一定要高度重视数学思想的教学。
德国数学家希尔伯特曾说过：“问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂”。
3、数形结合思想位居常用的15种数学思想之首，可使教学问题化难为易，化繁为简。深入地理解、探讨数形结合的方法是我们实施有效教学的最有希望的策略之一。
这15种数学思想包括：
1）、 数形结合思想；
2）、函数思想；
3）、分类讨论思想；
4）、方程思想；
5）、整体思想；
6）、转化思想；
7）、隐含条件思想；
8）、类比思想；
9）、建模思想；
10）、化归思想；
11）、归纳推理思想；
以及概率统计等数学思想。
著名数学家华罗庚先生在谈到数形结合的好处时曾作诗赞美：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。”
3、数形结合思想在数学内容上的体现。
1）、符号化思想：体现在图形、算筹、数字、字母、公式等；
2)、方程的解集、不等式的认识、应用题求解等；
3)、图形种类、数的分类及文氏图演绎；
4)、由形到数及由数到形的转换、互通；
5)、位置与方向、数对的点与坐标的对应关系等。
数形结合符合人类认识自然，认识世界的客观规律。人自有生命以来，睁开眼第一件事，是朦胧地看到周围的混沌世界。他的眼里只有形，这时，他是不识数的。十年磨一剑，挥手三千年，人类对数的认识起源于形，发展于形，得利于形，数形结合成为学习的永远的依赖，我们就要遵循先形后数的认识规律。
二、数形结合思想的有效培养中存在的问题。
由于学生思维的发展所必须遵循的客观规律，决定了学生在数形结合的学习中必然面临着许多问题。
1、数形结合知识本身的难度。从纯知识的角度看，学生对数形结合的知识掌握和方法使用不外乎两个方面：一是根据图形转化成数。二是根据数或式转化成图形。他们对“由形及数”看图写数类题的掌握程度，远远高于“由数及形”看数作图类的题。在固定的常规思维模式下,出现顺向思维易,逆向思维难，照搬模仿易,加工创新难的一贯性问题。这也是许多学生为什么看图列式比看式作图作得好的原因所在。
2、学生思想上固有的依赖性。在优越、安逸的生活中，现在的孩子常常养成等、靠、要的习惯，学习中同样得以表现。对老师的作图的依赖性特强，情愿空着手看老师作图，动口不动手。这样是不能学好数形结合知识的，更谈不上有效了。
3、前期没有适当的图形基础知识作铺垫，成为后期数形结合学习的制约。
4、作图时不能规范操作。学生在平时的作业中，不论是从形到数，还是从数到形，因为不规范操作而带来认识上的误区，影响了学习的效率。譬如，画图不用铅笔，不用尺子或其它的工具，只是一味地想当然作图。
5、老师的要求不到位。对于数形结合的思想，老师一般认为没有算理算法重要。在无意识的情况下，忽视了数形结合思想，降低或不作要求。目标不明，则动力不足。
6、教师的越殂代疱和急功近利。紧张而有限的上课时间里，老师的教学任务重，因而以讲代练，以数代形，非得在一个个问题上讲多、讲透不可，很少训练学生的数形结合思想和空间想像能力。一心想着学生画图的时间，老师可以多讲一道题了。以至于代为刀手，越殂代疱。学生作壁上观，画得不多，练得不少。但是，形象的、具体的、直观的事物要比抽象的语言容易记得多。美国图论学者哈里有一句名言：“千言万语不及一张图。”说的就是这种道理。
7、软硬件不足的问题。借助挂图，尺子，圆规上课的年代虽已过时，却成为我们最经常化的内容。能随时随地利用类似理科实验室的器材，展示直观图形；运用各种教学手段，尤其是大量使用多媒体，“以形助数”，化抽象为具体，降低学生的思维难度，应该成为教学的重要依靠。电教手段的日常化，数据库的信息化，是老师们急切等待而久未实现的倚重。这些软、硬件的缺失，将会成为日常有效教学的遗憾，使我校有效教学遭遇到很大的瓶颈。
8、题海战术对数形结合等思想的冲击。
应试教育突出“练”字，题海战术对数形结合等思想的冲击很大。大量的习题训练能提高分数误导了师生和家长。可怜的孩子们对作业浮光掠影，跑马观花，哪有过深入思考、举一反三？大脑的马达长时间停留在低档，哪有强劲的动力产生学习的有效、高效呢？
案例1：专家调查：中国学生计算能力世界第一，但是我们的创造力排名倒数。这是世界上最不公平的事！我们的小学生6点过起床，7点半到校，中午无休息，晚上的作业做到9点。外国的孩子为了诺贝尔物理奖、化学奖（没有奥数奖哈），却正在玩积木，玩游戏，玩表演，玩一切充满乐趣，充满活力，充满生机，充满希望的极具数学思想的活动。
为什么绵阳的孩子不能像上海的孩子那样轻松？为什么上海的孩子不能像美国的孩子那样创造？为什么解放前的“旧社会”西南联大出过李政道、杨振宁、邓稼先等学生，现在的清华也好，复旦也罢，却培养不出这种人才。我认为，是因为陶行知先生死早了，陶先生在解放的前夜就去世了，后来也就不出人才了。
2009年，中国最大的损失是钱学森先生的逝世。我们在大力宣传钱老的伟大，也同时在关注他对中国教育的审视。我发现，钱老先生1955年回国时，他的堂侄钱永健于1952年已出生在纽约；钱老2009年于北京逝世，钱永健先生2008年获得诺贝尔化学奖，钱学森先生心里怎么想？他若不回国的话，也许他早已不只是中国的钱学森，而是世界人民的钱学森了。有趣的是，钱永健先生在瑞典领奖时曾接受中国媒体采访，他建议：“中国的年轻人要培养在科学领域的创造力和好奇心。25岁到40岁之间是一个人最富创造力的阶段，政府应该制定更加完善的政策，激发他们的创造力，为他们提供足够的研究资源，千万不要用刻板的制度来束缚他们”。他的话也道出了基础教育的弊病，对我们具有参考作用。因为目前的现状是，搞应试教育轻车熟路，实施素质教育任重而道远。
三、培养学生数形结合思想的有效教学策略。
“空间与图形”是小学数学教学中的重要内容之一，在以后的学习中体现得更为明显。数形结合带给教学以蓬勃之生命，赋予教学以持续性的活力，使有效教学的策略更丰富，更清晰。
１、教学回归生活，以童真唤起兴趣，营造乐学的有效教学情境。
著名教育家皮亚杰说过：“儿童是具有主动性的人，所教的东西要能引起儿童的兴趣，符合他们的需要，才能有效地促使他的发展。”在我们的童年的记忆中，好的动画片和童话书总会给人一种最美好的的印象，那种感觉挥之不去，抹之不灭。新课改教材里各种鲜艳逼真的情境图，各种平移、旋转、对称的美丽图案，可以让学生真切地体会到了数学的美，受到美的熏陶。
案例2 《轴对称图形》：课件的音乐声中，春天的蝴蝶翩翩起舞，夏天的蜻蜓早立杆头，秋天的枫叶随风而落。
观察引入：“我们身边的世界缤纷多彩，每一样景物都是一幅画像，每一样图画都是艺术作品。初步感知：看到这些图案你有什么感受？这些图案各不相同，却有一个共同特征，认真观察，看谁的眼力最好，最早发现这个特征。”
再现脸谱的图片，以美丽的生活场景引入，激发学生很快进入积极的学习情感状态。初步感知昆虫、脸谱等轴对称图形的外部特点，并形成一定的表象。
同时，在教学中尽可能多地以本地生活中的事物或景物作为例子，让学生对轴对称图形的建构看得见，摸得着。教师创设的问题情景如果能深深地吸引每一个学生，孩子们就会热情参与、积极动手、踊跃发言，为后面的教学作了适当的铺设。
2、看图说话，鼓励多提问；先学后导，作图更有效。
陶行知先生说过：“创造始于问题”。学生没将题目读懂时，他是没有问题的，这与他没读题效果一样。只有钻研之后，才会生出“看似绝壁，却辟小径”之感。
案例3：天津到济南的铁路长357千米。一列快车从天津开出，同时有一列慢车从济南开出，两车相向而行，经过３小时相遇，快车平均每小时行79千米，慢车平均每小时多少千米？
策略一：读懂题意，鼓励多提问。教师把可能出现的问题都要预设清楚：题目意思是什么？哪两位同学上讲台来表演快慢车的相遇？你们撞上了，车能撞吗？在中间相遇吗？能用图形表示吗？除了用线段图，长方形图，还能用圆柱形的，轨道形的吗？它们的数量关系是什么？你用哪种数量关系解题？还有其它方法吗？可能出现什么错误？怎么改？
策略二：学生围绕着问题与图形，反复在数与形之间辗转，借直观，解抽象，把一个无从下手的题目具体化。通过汇报，有多种解法，可列出学生容易理解的几种式子，再结合直观图，比较最简单的一种解题思路。
策略三：学生在老师的引领下，领悟“数形结合”的数学思想。利用了列方程解答，例题图示化。充分利用图形的直观性和具体性，发现数量关系，找出解决问题的突破口。画图不仅是为了解题，更为重要的是建立图文并茂的场景图，让孩子们的思维体操更准确，更潇洒。
3、数形结合，不忘操作。由形到数是要求，由数到数是追求。
案例4：《解方程》新教材第九册数学解方程单元，教材设计打破传统，不再利用数与数之间的关系解方程，而是借用天平使学生感悟等式、方程，探求方程两边都同加、同减、同乘、同除（0除外）同一个数，方程两边仍然相等的基本性质。这种解题方法是发展的、前瞻的、科学的。
策略一：由形到数，动手、观察天平的平衡现象。
我在上这课时，以天平吊足学生胃口，在有形的教学中，学生非常主动地上讲台称重量，维持平衡，领悟等式，寻求方程。天平对于老师来说，是平时司空见惯的物体，在学生眼里就变得很神奇。其实，他们只知道书上说一枚两分硬币就是2克，他们还想知道一根胶棒、一本《鸡皮疙瘩》的重量几何？我们就把时间还给学生，放手一试又如何？
策略二：由数到形，抽象问题反馈化，稍微后退跳得更远。
方程具体到应用中学生感觉比较抽象，老师可以引导分组学生在反复操作中理解同时加、减一个数的目的和依据。在课堂上，学生对这种解方程方法感到很陌生，同时很新鲜。在他们原有的经验中应该可以用加减法各部分的关系来解，没想到会有这种方法，他们一定会进行各种探索。在出现种种失误后，老师再做策略性的引领，予以解决。
策略三：由数到数，升华思维。方程单元有意避开了X在减号（除号）后面的题型，但这种方程还是出现得较多。有了天平秤的启发，我们可以让学生作类比，等号两边同时加上X，再左右其位，方法就与前面的相同了。我们不能苛求所有的结论都能在有形的空间里操作，学生的思维梯度一旦培养，由数到数的转化便不是难事了。
4、“形→数”、“数→形”，分阶段把握数形结合知识难度，制定相应的教学策略。
低段学生及图形建构差的的学生适宜“形→数”的直观思维，其教学大多以观察、操作等活动开始，在感知和积累了大量空间图形的具体形象及抽象化图形后，自然过渡到复杂、抽象的图形学习。
高段的学生适宜“数→形”、“数→数”的抽象思维，因其数形知识有了一定积累后，几何直观图形感知能力，逻辑思维能力已有一定程度的发展。他们在观察、分析、思考题目后，对于简单的图，不一定每次都要画出来。数量关系式、图形能用“脑图”表现出来再好不过，“脑图”才是我们最美好的追求。
案例5《圆的面积》：
我们要做的，就是将数与形的知识结合起来，降低学生的认知难度，使问题迎刃而解。
对于学习有困难的学生，应视其情况，降低层次，回溯到相应的基础上再予以教学。梯形的面积不会做，三角形呢？也不会，很好！降低难度，拿一个平行四边形来，“老师，我还是不会”……太好了，出示长方形，还不会？数格子……有什么办法呢？学生的现状是第一位的，老师会为五年级学生不会做二年级的题而伤心、愤怒吗？尽管学生的无知是不合理的，却依然是存在的现实。临渊羡鱼不如退而结网，当堂发火不如蹲下身来。前提：把他当作你的孩子；原因：发火是无效的，反效的。
四、多元拓展，巩固生成数形结合的有效教学成果。
1、无图不成书，无图不成课，多元化地生成思维空间。
有效利用数学课本中的主题图，经历数形结合过程，建构有效课堂。我们念书时的课本特点就是白纸黑字。而新理念下的新教材“一改前非”，许多例题、习题中五彩缤纷的彩页和插图，还原和再现了生活化的特点，尤其是数学实践课、数学广角，为我们上好数学课提供了方便。能真正做到让学生动起来，对平面的图形要学会描绘，对立体的图景及实物要亲自参与观察、操作，让视觉、听觉、触觉等多种分析器官协同参与数形结合的活动，实现并享受数形结合概念的建模过程将不是奢望。
2、可依靠，不依赖，辩证地发展数形思想。
一味地依赖图形，只重视讲授“有形”知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，或者单纯强调数学思想和方法，而忽略“有形”知识的教学，都会使教学显得浮浅、不实、低效。
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