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硅火燎原》-28-AB效应和贝里几何相

《硅火燎原》-28-AB效应和贝里几何相
精选

张天蓉

已有 271 次阅读 2013-11-12 08:06 |个人分类:系列科普|系统分类:科普集锦|关键词:berry phase,电磁场, 电磁势

28. AB效应和贝里几何相

1982年,美国华盛顿大学物理学家索利斯(D.J.Thouless)等人,为了直接表征量子化霍尔电导的填充因子n,引入了一个称为TKNN的拓扑数,并由此而对电子波函数的拓扑性质进行分类1】。这是第一次将数学上的拓扑概念应用于与‘相’有关的凝聚态理论中。

拓扑概念如何与量子态关联起来了呢?这还得从近几年物理中的一个新进展,称之为‘贝里相位’的概念说起。贝里相位又与AB效应密切相关。

所以,有必要首先简略介绍下什么是AB效应。

量子力学中有一个著名的杨氏双缝电子干涉实验2】。在杨氏双缝实验中,电子通过两条狭缝后,在荧光屏上出现干涉条纹,从而证实了电子的波动性。如今我们不详谈这个实验本身,而是将它借来解释AB效应。

如图28.1a所示,电子波同时穿过两个狭缝后,从A点发出的子波和从B点发出的子波,假设它们到达屏幕上的C点时互相干涉而加强,便会在C点形成一个亮点。整个波的总效应则是在屏幕上出现明暗相间的条纹。然后,我们设想,如果将实验稍微改变一下,成为如图b所示:在两个狭缝间靠近狭缝处,插入一个非常细无限长的通电螺线管。这时候,实验结果会发生变化吗?


28.1:磁AB效应

首先我们从经典电磁场理论的观点来分析这个问题。在理想情况下,因为通电螺线管是无限长的,图中所示方向的电流将会在线圈之内产生一个从下往上的磁场。但是,紧密缠绕的螺线管将磁场完全包在了它的内部,线圈之外的磁场将处处为0。电子不会进到线圈以内,所以,经典理论认为,电子应该感知不到磁场的存在。当然,实际上,如果将电子看作是不具有波动性的经典粒子的话,屏幕上不会出现明暗相间的干涉条纹,而是按照经典几率的分布图像而已2】。总而言之,根据经典电磁理论,放(或不放)这个通电螺线管,对电子的实验结果不会产生任何影响。

不过,如果用量子理论来计算,却会预期一个不同的结果,这便是1959年英国两位理论物理学家阿哈罗诺夫(Aharonov)和波姆(Bohm)所作的工作3】。他们认为,通电螺线管的存在会使原来的干涉条纹产生移动,像图28.1c所显示的那样。如果通过螺线管的电流反向,干涉图像移动的方向也会反向。

在阿哈罗诺夫和波姆的文章中,他们不仅进行了理论计算,还详细设计了验证的实验。之后的近30年内,有许多人进行了与此相关的实验,得到A和B预期的结果。但是,物理学家们却总是对此理论及实验结果争论不休,一直到了1986年,日立公司的科学家Tonomura等人的实验4】,才终于得到了学术界的最后认可。至今,又过去了二十多年,AB效应已被物理学界完全肯定,并写入了教科书, 成为量子力学教材中不可缺少的基本概念。

阿哈罗诺夫-波姆效应之所以引起重视,是因为它证明了在量子理论中电磁势(包括矢量A及标量势r)的重要性,以及与其相关的电子波函数的相位的重要性。

经典的麦克斯韦方程是定域性质的微分方程。这种定域的描述方式是很容易得到公认的,如此描述的物质间的相互作用是由场传递的接触作用。它克服了‘超距作用’的困难,将带电粒子运动状况的变化归结为每一点的场对它逐点作用的结果。麦克斯韦方程表示电磁场有两种形式:可以用场强(电场E、磁场B)来描述,也可以用电磁势(三维矢量A、标量势r)来表示。但是,经典电磁理论认为,只有第一种方式使用的,空间中每一点的电磁场的强度,以及它使得运动电子经过该点时所受到的电磁力,才是基本的,才具有可观察的物理意义。而第二种方法中的电磁势(Ar),不过是为了计算方便而引入的数学概念,并不代表物理实质。以规范变换为例便能说明这一点:电场和磁场是规范不变的,而电磁势在不同的规范下则取不同的值,这是经典理论认为电磁势不是物理可观察量的理由。

什么样的量在物理学中是基本的,代表物理实质呢?举个简单例子让你更深入理解这点。

几万伏特的高压电线是很可怕的,但是,停在上面的鸟儿却仍然活蹦乱跳,丝毫感受不到危险,大家都知道这是为什么。那是因为我们是站在地面上,高压线的电压相对于地面的数值很高。尽管如此,但在鸟儿能接触到的局部小空间范围内,这个值却没有什么物理意义。鸟儿能感受到的、对它能表现物理效应的,是它两只脚两点间的电压差,而不是某点电压对地的绝对数值。

因此,对鸟儿来说,完全可以作一个电压的平移变换(V->V),将电线上某点的电压值设为0。这样来研究问题,计算要简单些。因为有物理意义的电压差(V1-V2)是在平移变换中保持不变的,所以鸟儿感受到的物理效应在变换下将没有任何区别。电磁理论中的规范变换呢,与此有点类似,只不过那时需要将电场磁场统一考虑。换言之,需要将矢量势和标量势一块儿变换。也就是说,用(Ar),或者用另一组规范变换后的(Ar,都表示同样的电磁场(B、E)。规范变换当然比鸟儿问题要复杂许多,但却同样也能起到简化计算,保持物理基本量不变的效果。

再回到实验中电子运动的问题。从经典电磁理论看,既然只有场强E和B才有物理效应,而在电子运动的路径上,线圈外所有点的电磁场场强(E和B)都为0,线圈对电子的运动当然不会有影响。

那么,AB效应又该如何解释呢?

从量子力学的观点看,电子具有波粒二象性,它的运动用波函数来描述,这是量子理论与经典理论的根本区别。任何波动,除了振幅之外,还有相位。图28.1a中屏幕上的干涉条纹,也就是从A和B经过两条路径的电子波之间的相位差而产生出来的。



28.2:磁AB效应中通电线圈引起的相位因子f

现在,放了通电线圈之后,实验中观察到干涉图像产生了移动。那说明A路径和B路径之间的相位差发生了变化。没错,如果我们用量子力学的理论,分别在没线圈和有线圈的时候进行计算,的确发现通电线圈的存在,在两条路径中引入了一个额外的相位因子。就像图28.2中图a和图b的情况,相差了一个相位因子f

你可能会说:“这不就解释了AB效应吗?条纹移动是由f产生的!”而正是这个f困惑着物理学家们,并为此争论许多年。为什么呢?因为算出来的这个相位因子,与电子经过路径上的电磁场强度无关,而是与他们原来认为不是物理实在的电磁势(Ar)有关的。实际上,它就等于矢量势A,沿着路径B到C,然后再从C返回B,绕线圈转一圈的环路积分。(在这儿,我们将靠得很近的A和B算作了同一个点B。)

那么,如果认可AB效应的实验结果,原来对电磁势的看法就要重新考虑。电磁势可能在某种意义上也代表了物理实在哦!换言之,仅仅用场强来描述电磁现象似乎还不够,得把电磁势加上去。但是,这儿又有问题了,刚才说了,电磁势不是根据规范的选取而变化的吗?选取不同的规范,可以使某些点的矢量势变成0,这样我们才能使运算简化嘛。那么,到底是该用(Ar),还是(Ar)呢?一个连数值都不能确定的量,又该如何谈到它的实在的物理意义呢?

想来想去、争来争去,真理总是越辩越明朗。尽管规范变换的确会使得某些点的矢量势变为0,但事实上,只要线圈中有电流,即使线圈外每点的场强都是0,却绝不可能使所有点的矢量势都变成0。此外,虽然每一点的矢量势是规范变化的,但仍然可能有一个与局部点的电场磁场无关,而只与路径上电磁势有关的某个东西是规范不变的。对啦,很可能就是那个矢量势的环路积分,也就是那个相因子f,它应该是规范不变的。

因此,AB效应又使得人们重视起相位这个东西。

接着,在1984年,物理学家们尚未完全认可AB效应之时,英国布里斯托尔大学跳出来一位叫迈克尔·贝里(SirMichael Victor Berry,1941-)的数学物理学家。贝里向物理学家们发出警告:一个量子体系随参数缓慢变化再回到原来状态时,可能会带来一个额外的相位因子。贝里认为这个相位因子不是由动力学产生的,而是由(某个)空间的几何性质而产生的,因此称之为几何相位5】。此外,贝里证明了这个相位因子是规范不变的,因而它很有可能具有可观察的、不可忽视的物理意义。贝里认为,AB效应便能用这个几何相位因子来解释。

借用网上一个比喻,贝里的意思是说,在倒掉洗澡水的时候要小心哦,里面可能有小孩!

贝里洗澡水中有小孩吗?且听下回分解。

参考资料:

1】Quantized Hall Conductance in aTwo-Dimensional Periodic Potential,D. J. Thouless, M.Kohmoto*, M. P. Nightingale, and M. den Nijs,Phys. Rev.Lett. 49, 405408 (1982)。

2】作者科学网博文《走近量子纠缠》- 杨氏双缝电子干涉实验:

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=677221&do=blog&id=534092

3】Aharonov, Y.; Bohm D. (1959)."Significance of electromagnetic potentials in quantum theory". Phys.Rev. 115: 485-491.

4】Osakabe, N., T. Matsuda, T. Kawasaki, J.Endo, A. Tonomura, S. Yano, and H. Yamada, "Experimental confirmation ofAharonov-Bohm effect using a toroidal magnetic field confined by asuperconductor." Phys Rev A. 34(2): 815-822 (1986).

5】M. V. Berry (1984). "Quantal PhaseFactors Accompanying Adiabatic Changes". Proc. R. Soc. Lond. A 392 (1802):4557.


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