——Einstein场方程的Schwarzschild解
按：本来准备继续“冒充”几天文科......不想天不遂人愿，好吧，写篇“应制博文”，属于“私人定制”......
引子
霍金他老人家“火”了之后，俺们一干小角色便经常遇到这样的问题：
黑洞到底是什么？
凡此类问题，我一般大笔一挥，给个方程或解析式：
然后指着x=0处，正色曰：瞧，“黑洞”！！！
初中时，我们就已经知道反比例函数在x=0处（反函数存在，则为y=0）"无意义"（中学数学好像一直是这么表述的）。我们把这个"无意义"位置被称为“奇点”（singularity）。如果这个函数关系表征的是物理世界中某个规律，则奇点意味着函数描述的物理规律在这个位置失效了。
黑洞，就是这么个奇点——爱因斯坦引力场方程的奇点！
......
从black star到blacl hole
在牛顿万有引力定律定律的基础上，英国的约翰·米歇尔（J.Michell）和“法国牛顿”拉普拉斯（P.Laplace）分别于1783年和1795年讨论了下面这种物理情境：
对某一大质量天体，质量为M，半径为R，其表面的逃逸速度，即该天体的第二宇宙速度v（也就是在天体表面发射小质量物体m脱离M引力束缚所需要的最小发射速度），根据能量守恒有
则
当v=c，即这个天体表面逃逸速度为真空光速时，
R=rg定义为质量为M天体的牛顿引力半径。
如果某天体表面的逃逸速度v大于c，则表明天体（恒星）发出的光无法逃逸。米歇尔和拉普拉斯把这类看不见的天体称为“黑星”（也叫“暗星”，black star）。
1915年，爱因斯坦在狭义相对论（1905）和马赫等效原理的基础上建立了广义相对论，其中最重要的成果就是建立了全新的引力理论——爱因斯坦引力场方程
这个方程深刻地刻画了相对运动、质量分布、引力与时空结构之间的关系，其中为度规张量，用以描述时空结构。
什么是度规呢？
狭义相对论建立后，我们不再孤立地看待时间和空间，而是把它们结合到一起视为时空（space-time or time-space）。对一个给定时空（必须是数学意义上的度量空间）中两个相邻事件间的时空线元的平方就是这个时空的度规，它包含了这个时空的结构信息。比如狭义相对论框架下，不考虑质量分布及引力作用的闵可夫斯基时空中，其度规为（也可以表示为张量形式，为简便从略）
如果是牛顿力学（经典力学）的三维欧氏空间，去掉第四维时间线元（icdt）即可。
1916年，德国天文学家、物理学家卡尔·史瓦西（K.Schwarzschild，其子马丁也是杰出的天文、物理学家）在静态球对称质量分布的条件下给出了爱因斯坦引力场方程的一个严格解——原则上，不同的条件就有不同的解，至于解不解得出来，就看造化咯！
引力场方程的史瓦西解确定了一个时空的史瓦西度规，在球坐标下，它可以表示为：
当时，即距离球体足够远（物理世界不存在无穷大！）时，上述史瓦西度规退化为狭义相对论中（平直闵可夫斯基时空）的闵可夫斯基度规（球坐标）。
广义相对论定量得讨论了质量分布导致的时空翘曲（表现为引力），有兴趣的朋友可以参见博文http://blog.sciencenet.cn/blog-217073-816148.html 。
史瓦西度规中与分别表示时间和空间在径向上的翘曲程度，存在两个奇点：
与
其中rs 称为史瓦西半径，以rs为半径的球面定义为视界（horizon）——瞧，黑洞（black hole），史瓦西黑洞！！！
请注意black star和black hole在表述上的差别，虽然都是“黑的”，只有hole刻画了一种时空中的凹陷！
视界被认为是黑洞的边界，是一种单向膜。对经典黑洞（不满足霍金黑洞量子力学描述的黑洞）而言，视界是“只进不出”的，视界外的物质和能量辐射可以进入，而内部的物质和能量辐射不能出来。
有趣的是，史瓦西半径与非相对论的牛顿引力半径在数学上等价（你不得不佩服“牛哥”与“公爵”有意或无意的“洞见”），但在物理意义上，有天壤之别：经典力学中没有光速极限的限制，黑洞内的光子可以运动到视界外再被“拉回来”。而狭义与广义相对论中存在光速极限，黑洞内的光子最多（在视界上发射）只能在视界上运动。
史瓦西黑洞模型是静态的，还有一种考虑了旋转（角动量）的克尔黑洞。克尔黑洞的视界半径为
J为黑洞角动量，容易看出（学一下拉普拉斯大人的风格）：当J=0时，克尔黑洞的视界半径等于史瓦西半径，克尔黑洞退化为史瓦西黑洞。还有考虑了角动量和电荷的克尔—纽曼黑洞，就不在这里赘述咯......
霍金，你凭什么牛？
在史瓦西度规的两个奇点中：
（1）r=0 处，有无穷大的潮汐力（即固有引力理论失效了），是真实的物理奇点；
（2）视界或史瓦西半径处，潮汐力有限（固有引力理论仍然有效），不是一个真实的物理奇点。
1965年到1970年间，彭罗斯（R.Penrose）和霍金(S. Hawking)证明：天体在坍缩成黑洞的过程中必然会出现（邻域内）密度和时空曲率无穷大的奇点。
那么，宇宙中会不会出现不被视界（非真实奇点）包围的裸露奇点（真实奇点）呢？
为解决这个问题，彭罗斯提出了宇宙监督猜想（cosmic censorship conjuecture）:一个物体在完全引力坍缩时，不会产生裸奇点，宇宙中不存在只有奇点没有视界的黑洞！
史瓦西黑洞模型是一个静态的“死黑洞”，为了描述黑洞自身的演化与辐射机制（要不然我们怎么找到它？），霍金与人合作建立了超越经典黑洞模型的黑洞热力学（演化）与黑洞量子力学（辐射）......这些内容，本文就不讨论啦。
总而言之，言而总之：给我一个方程，我还你一个"黑洞"......
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