中学数学好教师
二次函数是初中数学的重点也是难点内容之一，它的图象是一条抛物线，其形状、开口方向、位置等与表达式中的系数的关系非常密切。所以，二次函数图象与a、b、c的关系是非常重要的一个知识点，今天，小培就为大家总结一下二次函数图像与系数的关系变化。
1. a决定抛物线的开口方向及大小
具体内容：
a>0，抛物线开口向上
a<0，抛物线开口向下
|a|越大，抛物线的开口越小
|a|越小，抛物线的开口越大
我们知道抛物线平移前后形状及开口方向不变，只是位置发生改变，那么只要两个二次函数的a相同，那么就可以由其中一个二次函数通过平移得到另一个二次函数.
图象：抛物线开口向上，a>0，抛物线开口向下，a<0,开口大的抛物线的|a|小于开口小的抛物线的|a|.
图象示例：
2. a、b共同决定抛物线对称轴的位置
对称轴
的位置
具体内容：
b=0时，对称轴为y轴
b/a>0，对称轴在y轴左侧（即a、b同号，则对称轴在y轴左侧，简记为“左同”）
b/a<0，对称轴在y轴右侧（即a、b异号，则对称轴在y轴右侧，简记为“右异”）
上述当b≠0时，a、b的符号及对称轴与y轴的位置可简记为“左同右异”
图象：对称轴在y轴，则b=0,对称轴在y轴左侧，根据“左同右异”判断a、b同号，对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”判断a、b异号.
图象示例：
3. c决定抛物线与y轴交点的位置
具体内容：
c=0，抛物线过原点
c>0，抛物线与y轴交于正半轴
c<0，抛物线与y轴交于负半轴
可根据c是抛物线与y轴交点的纵坐标来理解记忆这一点内容
图象示例：
4. b2-4ac决定抛物线与x轴的交点的个数
具体内容：
b2-4ac=0时，与x轴有唯一交点（即顶点）
b2-4ac>0时，与x轴有两个交点（即开口向上时顶点在x轴下方，开口向下顶点在x轴上方）
b2-4ac<0时，与x轴没有交点（即开口向上时顶点在x轴上方，开口向下顶点在x轴下方）
图象示例：
5. 特例
当x=1时，y=a+b+c
当x=-1时，y=a-b+c
当x=2时，y=4a+2b+c
当x=-2时，y=4a-2b+c
若a+b+c<0，即当x=1时，y<0
若a-b+c>0，即当x=-1时，y>0
当对称轴为直线x=1时，则2a+b=0
当对称轴为直线x=-1时，则2a-b=0
从上述中我们可以得出从二次函数的图象也可以得出关于系数a、b、c的相关信息，做此类问题一定要注意数形结合.
例题讲解
例1二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点
在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【分析】根据图象开口向下可得a<0，根据对称轴在y轴右侧可得a、b异号，则b>0，抛物线与y轴交于正半轴，可得c>0，所以
<0，则点M（b，
）符合第四想象点的坐标特征（+，-），故选D.
例2 若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两个交点，则a的取值范围是 （ ）
A.a＞0 B.a＞- 4/9
C.a＞ 9/4 D.a＜9/4且a≠0
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点，则b2-4ac>0，即32-4a×1>0，解得a＜9/4，根据二次函数定义可知a≠0.故选D.
▲易错警示▲不要忽视二次函数表达式中二次项系数不为0这一条件.
例3 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
① a+b+c＜0，②a-b+c＞0； ③ abc＞0；④b=2a 中正确个数为（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【分析】
a+b+c是当x=1时y的值，根据图象可知当x=1时，图象上对应的点在x轴下方，则y=a+b+c<0，故①正确；
a-b+c是当x=-1时y的值，根据图象可知当x=-1时，图象上对应的点在x轴上方，则y=a-b+c>0，故②正确；
根据图象开口向下可得a<0，根据对称轴在y轴左侧，可得a、b同号，故b<0，根据图象与y轴交于正半轴可得c>0，所以abc>0，故③正确；
由图象得抛物线的对称轴为直线
x=-b/2a=-1，则b=2a，故④正确；故本题选A.
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