数学思想方法与新题型解析（续）  

 

数学思想方法与新题型解析（续）

 

（三）转化思想

    我们在解数学题时，常常把有待解决或难以解决的问题，通过某种转化手段，使它转化成已经解决或比较容易解决的问题，从而求得原问题的解答，这里运用的就是转化思想。转化的思想是一种最基本的数学思想，解决数学问题的最基本思路就是对数学命题进行等价转化或非等价转化，使问题在转化中得到解决。

    转化思想我们并不陌生，在运用换元法解方程时，便是通过换元这个手段，把高次方程转化为低次方程，把分式方程转化为整式方程，把无理方程转化为有理方程，从而使新方程化为旧方程，化难为易。除此之外，在因式分解、化简求值、几何证明，特别是在解综合题的过程中几乎没有一题不体现转化思想的运用。学习和掌握转化思想有利于我们从更深的层次去揭示、把握数学知识、方法之间的内在联系，树立辩证的观点，提高分析问题和解决问题的能力。

  1. 把生产、生活中的问题转化为数学问题

  例1. 海上有三艘渔船在同一时刻向指挥所报告：A船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东60°方向；B船说C船在它的北偏西30°方向；C船则说它到B船的距离是5海里。画出示意图并求出A、B两艘渔船在这一时刻彼此之间的距离。

    分析：这是一道有关航海的实际问题，解决本题的关键是根据题意正确地画出示意图，如图所示。可以看到，A、B、C三艘渔船在这一时刻的位置构成了一个三角形，并且

。

   

    又知B船与C船的距离是5海里，于是这个实际问题就转化为在直角三角形中，已知一条直角边和锐角，求斜边的简单的解直角三角形的问题。

    在Rt△ABC中，CB＝5（海里），∠CAB＝30°

    ∴AB＝2·CB＝10（海里）

    ∴A、B两艘渔船在这一时刻彼此之间的距离为10海里

    解略。

 

  例2. 改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备，设喷水管喷口高出地面1.5m，喷出的水流呈抛物线状，抛物线最高点距地面3.5m，且最高点与喷口的连线与水平方向成45°角，问水流落地点到喷管的水平距离是多少（精确到0.1m）？

    分析：本题是一道具有实际意义的问题，首先要把它抽象、转化为数学问题，如何转化？坐标系是有用的工具，如图所示，以喷水管AB所在直线为y轴，A点在地面上，B点是喷口，以过A垂直于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A为坐标原点。

    设抛物线顶点为C，作CF⊥x轴于F，BD⊥CF于D，连结CB，则

    ∠CBD＝45°

    依题意，知B点坐标为（0，1.5），C点坐标为（2，3.5），因此可设水流抛物线的解析式为

    ∵抛物线过点B（0，1.5）

   

    设水流落地点为抛物线与x轴交点E

    当

时，解得

    由图可知E点坐标为

   

    ∴水流落地点到喷管的水平距离约为4.6m

    解略。

 

  2. 把不熟悉的问题、非常规问题转化为熟悉的问题或常规问题

  例3. 如图所示，已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E。

    求证：

    分析：此题求证式的左端是两条线段的乘积，而右端却比较复杂，感到无从下手。联想到等积式的证明，考虑能否把等式的右端转化成两线段的乘积？等式的右端为两项的和，是否可以把其中一项变形，使两项产生公因式，利用提公因式化积？由相交弦定理，得BD·DC＝AD·DE，于是右端可以化为：

   

    因此问题便转化为证明：

。这是一个熟悉的命题，可迎刃而解。

    证明：连结BE

    △ABE与△ADC中

   

    由相交弦定理，得：

   

 

  例4. 已知：抛物线

与x轴相交于两个不同的点A、B，顶点为C，且∠ACB＝90°，试求如何平移此抛物线使其∠ACB＝60°。

    分析：对这道题感到比较生疏，一是有的已知条件，如∠ACB＝90°意味着什么，怎样入手解？二是平移后使∠ACB＝60°，又意味着什么？

    不妨换个角度考虑问题，画图观察一下。草图如图所示，可看到由于抛物线的对称性，∠ACB＝90°就意味着△ACB是等腰直角三角形，就是说，斜边AB上的高CD等于斜边AB的一半，而AB的长等于这两点横坐标差的绝对值，CD的长则是顶点C纵坐标的绝对值。于是可以列出方程，求得k的值：设A、B两点横坐标分别为

，则它们是方程

的两个相异的实数根，那么有

   

    于是

    又设顶点C的坐标为

，应用顶点坐标公式，有

   

    那么条件

就是方程

    即

   

   

    于是抛物线解析式为

    这样通过观察图形和计算，不但弄清了∠ACB＝90°意味着什么和如何利用这个条件求出k值，同时也提示我们用同样的方法去分析平移抛物线使其∠ACB＝60°意味着什么。画图分析可看到，抛物线向下平移，∠ACB逐渐变小，当∠ACB＝60°时，由抛物线的对称性可知△ACB为等边三角形。因为等边三角形的高等于边长的

倍，所以

，这就给我们提供了一个等量关系，利用这个关系列方程，可求出平移后抛物线解析式中的常数项。

    设把抛物线

向下平移

个单位后，使∠ACB＝60°，则平移后抛物线的解析式为：

   

    设A、B两点的横坐标分别为

，C点纵坐标为

，则按题意有

   

    又

    因此

               

   

    代入<1>，得：

    平方，整理得：

    因平移后抛物线仍保持同x轴有两个交点，所以

   

，即

    可得

，即

    于是可知，把已知抛物线向下平移2个单位，就能使∠ACB＝60°

    解略。

 

  例5. 已知：方程组

有两个实数解

和

，且

，

，设

。

    （1）求m的取值范围；

    （2）试用m的代数式表示出n；

    （3）m是否存在这样的值，使n的值等于

？若存在，求出这样的所有m的值；若不存在，请说明理由。

    分析：根据一元二次方程两实数根满足的条件来判断方程中字母系数的取值范围的题目是我们比较常见和熟悉的题目类型。而本题给出的是由二元方程组的两个实数解所满足的条件，来判断方程组中字母系数的取值范围，对这种题型则感到比较生疏了。考虑到解二元方程组时是通过消元转化成一元方程来求解，由此联想，本题是否也可把对二元方程组解的讨论转化为对一元二次方程的根与系数之间关系的讨论呢？我们不妨试一试。

    解：（1）把

代入

    整理，得：

    则

是此关于x的一元二次方程的两个不等实根

   

    得：

且

    （2）

，且

   

    即

    （3）若

，即

    整理，得：

    解得：

    经检验知，当

时，n的值都为

。

   

（舍去），而

且不等于零

    ∴使n的值等于

的m值存在，是

 

  3. 从复杂的条件入手，转化条件

  例6. 已知：锐角三角形ABC的∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，方程

的两根的平方和为1，方程

有实数根，求c边的长。

    分析：从已知与所求知本题的“主干”是解三角形，但没有直接给出△ABC的边长的条件与角的度数或内角的三角函数值，因此把复杂的条件转化为直接可用的条件是解本题的关键。

    首先化简“方程

的两根的平方和为1”这一复杂条件。

    设方程

的两根为

，则有

   

    目标是消去

，解出sinA的值。

    因为

    所以

    解得：

    把

代入判别式

    再化简另一复杂条件，因为方程

有实数根，所以

    整理，得：

    即

    而

   

    进而得：

    至此问题已转化为“已知△ABC中的两边

，求第三边c”，这样一个简单的问题了。

    这个题目就分析到此，请自己完成本题的解答书写过程。

 

  例7. 已知：对称轴平行于y轴的抛物线开口向下，直线

交抛物线于P（3，2）和R两点，交抛物线的对称轴于点Q（2，1），设抛物线顶点为M，且

，求△MRP的面积。

    分析：求△MRP的面积，由于P点坐标已知，所以关键是知道M点及R点的坐标。点M是抛物线的顶点，R点是直线

与抛物线的交点，则需把复杂的、零散的条件转化为抛物线与直线的解析表达式。

    解：依题意画草图，如图所示。

    ∵抛物线的对称轴平行于y轴，且抛物线开口向下

    ∴设抛物线顶点M的坐标为（m，n），其解析式为：

   

    ∵直线

交抛物线的对称轴于点Q（2，1）

   

    ∵点P（3，2）在抛物线上

   

    即

    作PG垂直于抛物线的对称轴，垂足为G，连结MP，在Rt△PGM中，由勾股定理得：

   

    即

    由<1>、<2>解得：

或

    当

时，得

，与

矛盾

    ∴舍去

    当

时，得

    ∴抛物线的解析式为

，即

，顶点M的坐标为（2，3）

    设直线

的解析式为

    ∵直线过点P（3，2）和Q（2，1）

   

    解得：

    ∴直线

的解析式为

    ∵直线

与抛物线交于P（3，2）和点R

    ∴解方程组

    得

    ∴R点坐标为（0，-1）

    连结MR，作RN垂直抛物线对称轴，垂足为N

   

    易得

   

           

    ∴△MRP的面积为3

 

  例8. 已知：如图所示，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，GE切⊙O于C，AE⊥CE，AE的延长线与BC的延长线交于F点，CD⊥AB于D，且

，

。求EF的长。

    分析：本题的条件多，又比较分散，因此需要认真分析题意，寻找由已知条件向所求结论转化的转化点。

    由于CD与∠F不在同一个三角形中，所以需要寻找与∠F相等的角，或与CD相等的线段，使分散的条件集中在同一个三角形中，创造可解的直角三角形，使问题得到解决。

    解：连结AC（如图所示）

    ∵AB是⊙O直径

    ∴∠ACB＝∠ACF＝90°

    ∵CE⊥AF，∴∠FCE＝∠CAF

    ∵ECG是⊙O的切线

    ∴∠GCB＝∠BAC

    又∠FCE＝∠GCB

    ∴∠FAC＝∠BAC

    ∵CD⊥AB，CE⊥AF

   

    在Rt△FEC中，

    设

    由勾股定理，得：

   

    解得：

（舍去负值）

   

 

  4. 将几何问题转化为代数问题

  例9. 如图所示，已知P为两同心圆的大圆上的一点，过P点引大圆的弦PE和PC，PE切小圆于D，PC交小圆于A、B，若

。求PA和PB的长。

    分析：这是一道几何计算题，观察图形，PE、PC分别是小圆的切线和割线，D为切点，连结OD，则OD⊥PE，且

。

    由切割线定理可得：

    又

    于是想到一元二次方程根与系数的关系，PA、PB的长是一个一元二次方程的两个根。要求PA、PB的长，则问题就转化为解一元二次方程的代数问题。

    解：连结OD，作OF⊥PC于F

    ∵PE切小圆于D

    ∴OD⊥PE，且

    由切割线定理，得：

    又

   

   

    ∴PA、PB是方程

的两根

   

    解得：

   

    又

   

 

  例10. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A点出发沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止运动，回答下列问题：

    （1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于

？

    （2）设运动开始后第t秒后，五边形APQCD的面积为

，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；

    （3）t为何值时S最小？求出S最小值。

    分析：从题目的条件看本题是一道几何题，而从所求的结论看，是求函数解析式及函数最小值的代数问题。因此，把几何问题转化为代数中的函数问题是解此题的指导思想。

    第（1）问中，若设运动开始后第x秒时△PBQ面积为

。为了应用面积为

的等量关系，需要把Rt△PBQ的两直角边分别用含未知数x的代数式表示，通过面积公式列方程。而第（2）问是涉及研究点运动位置的函数关系问题，实际上也是通过方程转化求得。

    解：（1）设运动开始后第x秒时，△PBQ的面积等于

   

    ∴依题意，得：

    即

    解得：

    ∴运动开始后第2秒或第4秒时，△PBQ的面积等于

    （2）由题目已知可得：

   

    即

    （3）由（2）得，

   

时，

    即

秒时，五边形APQCD面积最小为

    由以上几例可以看出，转化思想在数学解题中应用十分广泛，可以说，解题的实质就是转化。可以根据题目条件、图形特征，适当选择转化的方法，把生疏的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，从而完成数与数的转化，形与形的转化，数与形的转化，沟通已知和未知的联系，使问题得到解决。

 

（四）分类讨论思想

    分类讨论是比较数学对象本质属性的相同点和差异点，根据数量关系或空间形式的某一标准将数学对象分为不同种类，然后分别对它们进行讨论，得出各种情况下相应结论的数学思想方法。

    分类是解决数学问题的手段和策略之一，通过分类可以化整为零，化一般为特殊，变抽象为具体，可以把一个复杂问题分解成若干个相对简单明了的问题。

    在初中数学中常见的运用分类讨论思想解答的问题主要有以下四个方面：

    （1）有些数学概念是分类给出的，有些定理、公式或法则是受某些条件制约的，当题中涉及到这些定理、公式或法则时，就有可能要对它们进行分类讨论。

    比如，绝对值的概念是分类给出的：

   

    当遇到

要去掉绝对值的符号，就需要分

三种情况分类讨论。又如不等式的性质，不等式两边同乘以一个正数时不等号的方向不变，同乘以一个负数时不等号的方向改变，所以当不等式两边同乘以一个数时，就要分正数、负数两种情况分类讨论。

    （2）有些数学问题的数学表达式，它的已知量不是以确定的常数给出的，而是用字母表示数的形式给出的（比如方程、不等式、函数解析式中系数是以字母形式给出的）。由于字母所取值不同而得到不同结果，就需要分类讨论。

    比如，一元方程中二次项系数含有字母，那么字母取值的变化会影响到方程的类型，也会影响到方程的解，就需要分类讨论。

    （3）有些数学问题（特别是几何题）依条件画出的图形的位置或形状不能确定，就要运用分类讨论的思想进行解答。

    （4）有些数学问题（例如代数问题）的条件或结论不唯一确定，它们有几种可能，这时，也需要进行分类讨论。

    运用分类讨论思想解题的一般步骤是：

    （1）确定分类讨论的对象及其范围，即对谁进行分类讨论；

    （2）按照分类的标准把对象分类后，逐类进行讨论，对于比较复杂的问题，还要逐级进行分类（注意分类要按同一标准进行，做到不重不漏）；

    （3）对讨论的结果进行归纳、合并，综合得出结论。

    在这三步中，第一步是前提，第二步是关键，第三步是结论，都不可忽视。

    下面分四个方面举例说明。

  1. 由某些概念、定理、公式、法则引起的分类讨论

  例1. 化简下列各式：

    （1）

    （2）

（α为锐角）

    （3）

（α为锐角）

    分析：（1）由

得到

即

，因此，去掉绝对值符号是化简的关键，这就需要对绝对值内的符号进行讨论。（2）、（3）小题也同样。

    解：（1）∵原式

                   

    ∴①当x＞y时，即

，原式

      ②当x＝y时，即

，因为使分母为零，故舍去

      ③当x＜y时，即

，原式

    （2）原式

             

    （3）∵α是锐角

   

    ∵0°到90°的范围内，余切值是随着角度增加而减小，且

    ∴①当

时，

，原式

      ②当

时，

，原式

      ③当

时，

，原式

 

  例2. 已知：

，求k的值。

    分析：使用等比定理时要注意“分母之和不等于零”的约束条件，所以本题应分为

和

两种情况来讨论。

    解：①当

时，由等比定理可得：

   

    即

   

    ②当

时，则

   

    综上所述，

或

 

  例3. 已知：a、b满足

，求

的值。

    解：（1）当

时，a、b是方程

的两个不等实根，则

   

    （2）当

时，

    综上，

的值等于

或2。

    说明：本题是由一元二次方程根的概念引起的分类讨论。注意，本题易丢

的情况。

 

  2. 由问题中待定系数的变化引起的分类讨论

  例4. m为什么实数时，方程

有实数根。

    分析：本题中

项系数含有字母，这样的方程不一定是一元二次方程，有可能是一元一次方程或其它方程，所以应对

项的系数进行分类讨论。

    解：（1）若

，即

    当m＝1时，原方程为一元一次方程

，此方程有实数根

；

    当

时，原方程为

，此方程无解。

    （2）若

，原方程为一元二次方程。

    当△≥0时，方程有实数根，即

    解得：

   

   

且

时，一元二次方程

有两个实根

    综上所述，当

时，方程

有实数根。

 

  例5. 已知关于x的两个方程

，若方程<1>的两个实数根的差的平方等于方程<2>的一个整数根，求n的值。

    分析：所求的n值要满足使两个方程都有两个实数根，即判别式大于或等于零，还应满足使方程<1>的两个实数根的差的平方等于方程<2>的一个整数根。利用根与系数的关系，方程<1>两实根的差的平方易于用含n的代数式表示，但方程<2>的两根中哪个是整数根呢？显然需要对方程<2>的两根进行讨论。

    解：在方程

中

   

       

    ∴n为任何实数，方程<1>都有两不等实根

    设方程<1>的两根分别为α、β

    则

   

    由方程<2>：

    得：

    得：

    （1）若

为整数根

    依题意，

    解得：

    当n＝0时，

为整数

    当

时，

不是整数

   

舍去

    ∴n＝0

    （2）若

是整数根

    依题意，

    解得：

    当

时，

不是整数

   

舍去

    综上所述，当n＝0时，方程<1>两实根差的平方等于方程<2>的一个整数根。

    说明：可以看到认真审题，严谨思维是分类讨论的前提，抓住题目中方程“有实数根”、“有整数根”等关键词语，进行有层次的分析是分类讨论的核心。

 

  3. 依条件画出的图形的位置或形状不确定引起的分类讨论

  例6. 已知：△ABC是等腰三角形，由顶点A所引BC边上的高恰等于BC边长的一半，求∠BAC的度数。

    分析：本题的条件没有明确指出BC是底还是腰，因此，应分两种情况考虑；又当BC是腰时，顶角又可能是锐角、钝角或直角，因此，要进一步分类。

    解：（1）如图所示，若BC是等腰三角形的底，AD⊥BC，D为垂足，

   

    ∴∠BAC＝90°

    （2）若BC为等腰三角形的腰，不妨设C为底边对应的顶点，这时又分三种情况：

    ①顶角C为锐角（如图a所示）

    AD⊥BC，垂足为D，

    ∴∠C＝30°

   

    ②顶角C为钝角（如图b所示）

    作AD⊥BC交BC延长线于D，

    ∴∠ACD＝30°

   

    ③顶角C为直角（如图c所示）

    这时BC边上的高AD与边AC重合（即点D与点C重合）

    ∵AD＝AC＝BC与已知

矛盾

    ∴这样的三角形不存在

    综上所述，∠BAC为90°或75°或15°

 

  例7. 已知：⊙O和⊙O'相切于P点，过O、O'作直线交⊙O于A、并交⊙O'于B（A、B异于P点），过P作割线交⊙O于C、交⊙O'于D，且⊙O的半径为2cm，⊙O'的半径为3cm。若AC、BD的长分别是方程

的两个实数根，求CD的长。

    分析：题目只告诉我们，⊙O和⊙O'相切于P点，所以两圆可能外切，也可能内切，因此需分两种情况加以讨论。

    解：分两种情况讨论。

    （1）当⊙O与⊙O'外切于P点，如图所示，则AB必过P点

    ∵PA、PB分别是两圆的直径

    ∴∠ACP＝∠BDP＝90°

    又∠APC＝∠BPD

    ∴△APC∽△BPD

   

    ∵AC、BD的长是方程

的两个实数根

   

    由

解得：

    在Rt△ACP中，由勾股定理得：

   

    在Rt△BDP中，由勾股定理得：

   

   

    （2）当⊙O与⊙O'内切于P点，如图所示，则直线AB必过P点

    ∵PA、PB分别是两圆的直径

    ∴∠PCA＝∠PDB＝90°

    ∴AC∥BD

    ∴△PAC∽△PBD

   

    同（1）可求得：

   

   

 

  例8. 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于

。设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。

    分析：由已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，可知矩形的宽介于0和2之间，长介于4和6之间，我们画一草图分析，不妨设从顶点A作一条射线，这条射线要满足与矩形一边所成角的正切值为

的条件，那么这条射线和长边还是短边相交？和哪一边所成角的正切值为

呢？

    画图分析可看到，从A点作的射线可与长边BC相交于点E（如图a所示），这条射线与短边所成角的正切值为

，即

；从A点作的射线还可以与长边BC相交于点F（如图b所示），射线AF与边AD所成角的正切值为

，即

   

    因为矩形的长介于4和6之间，宽介于0到2之间，那么从A点作的射线与短边相交，这条射线与长边或短边所成角的正切值都不可能为

，所以从A点作的满足题目条件的射线不会与短边相交。

    本题应分两种情况来讨论。

    解：∵矩形ABCD的长大于宽的2倍，矩形的周长为12

    ∴0＜AB＜2，，4＜AD＜6

    根据题意，可分为以下两种情况：

    （1）如图a所示。当

时，

    设

，则

   

   

   

           

    （2）如图b所示。当

时，

    在矩形ABCD中，AD∥BC

    ∴∠DAF＝∠AFB

   

    设

，则

   

    ∵矩形的周长为12

   

   

            

 

  4. 由问题（特别是代数问题）的条件或结论不唯一引起的分类讨论

  例9. 在直角坐标系xOy中，一次函数

的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C坐标为（1，0），点D在x轴上，且∠BCD＝∠ABD。求图象经过B、D两点的一次函数的解析式。

    分析：由已知可得A点坐标（-3，0），B点坐标（0，

），点C是确定的点（1，0），解题的关键是确定点D的坐标，由点D在x轴上，及∠BCD＝∠ABD的条件，结合画草图可知∠BCD的边BC确定，顶点C确定，但边CD可以有两个方向，即点D可以在C点右侧，也可以在C点左侧，因此解此题要分类讨论。

    解：∵点A、B分别是直线

与x轴和y轴的交点

   

    ∵点C与坐标（1，0），由勾股定理得：

   

    设点D的坐标为（x，0）

    （1）当点D在C点右侧，即

时，如图所示：

    ∵∠BCD＝∠ABD，∠BDC＝∠ADB

    ∴△BCD∽△ABD，相似比为

   

    解得：

    ∴D点坐标为

    设图象过B、D两点的一次函数为

    则

    解之得：

    ∴所求一次函数为

    （2）若点D在点C左侧，则x＜1，如图所示：

    可证△ABC∽△ADB

   

    整理，得：

    解得：

    经检验：

都是原方程的根，但

    ∴

舍去

   

    ∴图象过B、D（

）两点的一次函数解析式为

    综上，满足题意的一次函数为

或

 

  例10. 以x为自变量的二次函数

中，m为不小于零的整数，它的图象与x轴交于点A和点B，点A在原点左边，点B在原点右边。

    （1）求这个二次函数的解析式；

    （2）一次函数

的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C，且

。求一次函数的解析式。

    分析：对于第（1）问，根据题目所给条件，构造关于m的不等式，可确定待定系数m的值。第（2）问中，当二次函数解析式确定以后，它的图象与x轴的两个交点A、B的坐标自然可以得出。一次函数

的图象过点A和二次函数图象上的点C，要确定一次函数的解析式，关键是求出C点坐标。由

，可得C点纵坐标的绝对值。由抛物线的对称性知，一般地，抛物线上纵坐标为某一确定值的点有两个，所以求一次函数的解析式需分类讨论。

    解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点

    ∴关于x的方程

有两个不相等的实数根

   

    又∵m为不小于0的整数

   

，或

    设点

，点

    ∵点A在原点左侧，点B在原点右侧

   

，则

    由一元二次方程根与系数的关系得：

   

    当

时，

舍去

    当

时，

    此时二次函数解析式为

    （2）可求得二次函数

的图象与x轴的两交点分别为

，B（3，0）

   

    设点C坐标为（x，y）

   

    如图所示，抛物线

的开口向下，顶点P的坐标为（1，4）

    ∵抛物线上的点的纵坐标最大为4

    ∴

    即

   

   

    当

的图象过A、C₁两点时

   

    解之：

   

    当

的图象过A、C₂两点时

   

    解之：

   

 

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

一. 填空题：

  1. 在直角坐标系xOy中，点P到x轴距离为3，到y轴距离为2，则P点坐标为__________。

  2. 已知a、b互为相反数，且

，那么a的倒数与b的倒数的大小关系为__________（用“＞”连结）。

  3. 已知

，且

，那么实数

的大小关系为_________（用“＜”连接）。

  4. 下图是函数

的图象，则下列各式与0的关系为：

   

 

二. 选择题：

  1. 已知实数a、b在数轴上表示的点如图所示，化简

的结果是（    ）

    A.

                    B.

    C.

                 D.

  2. 若点

在反比例函数

的图象上，则下列结论中正确的是（    ）

    A.

                       B.

    C.

                       D.

 

三. 解答题：

  1. 已知一次函数

    （1）当x取何值时，

；

    （2）求这两个一次函数图象与一条坐标轴围成的三角形的面积。

  2. 已知：一次函数

的图象与反比例函数

的图象在第一象限内的交点坐标是（m，2），求这两个函数的解析式。

  3. 已知：抛物线

与抛物线

在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，其中一条与x轴交于A、B两点。

    （1）试判定哪条抛物线经过A、B两点，并说明理由；

    （2）若A、B两点到原点的距离AO、OB满足

，求经过A、B两点的这条抛物线的解析式。

  4. 已知：抛物线

过点

，其顶点的横坐标是

，与x轴分别交于

两点。（其中

），且

。

    （1）求此抛物线的解析式及其顶点E的坐标。

    （2）设此抛物线与

轴交于点D，点M是抛物线上的点，若△MBO的面积为△DOC面积的

倍，求点M的坐标。

 

【试题答案】

一. 填空题。

  1. （2，3），（-2，3），（-2，-3），（2，-3）

  2.

  3.

  4. ＞0，＜0，＞0，＜0，＝0，＜0

二. 选择题。

  1. A                   2. C

三. 解答题。

  1. （1）

时；（2）

或11

  2.

  3. （1）

    （2）

  4. （1）

；

    （2）

 

【励志故事】

认识自己

每一种才能都有与之相应的缺点，如果你屈服于它，它将像暴君一样统治你。推翻它的办法是一开头就要看准究竟是什么样的缺点。要像那些因你的缺点而责备你的人那样注意它。你要成为自己的主人，就必须学会自省。一旦这主要的缺点投降了，所有其它不足都会随之而降。