二轮复习专题讲座：
等差数列和等比数列
数列的通项和求和
数列的综合应用
二. 知识分析
等差数列和等比数列
【考点解读】
①理解等差、等比数列的概念，能够根据定义判断一个数列是否为等差、等比数列；
②掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式，了解其导出过程；
③掌握等差、等比数列的性质，特别是等差、等比中项问题，熟练掌握及公差
（或公比）知三求二的运算；
④理解等差数列中通项公式、前n项和公式的特点，掌握有关最值的计算．
【典型例题】
【例1】已知数列的前项和为非零常数），则数列为（ ）
A. 等差数列 B. 等比数列
C. 既不是等差数列，又不是等比数列 D. 既是等差数列又是等比数列
【解析】当时，，
当时，，，
∴为常数,但，
∴数列从第二项起为等比数列，故选C.
【例2】若是等差数列，首项，，，则使数列的前n项和为正数的最大自然数n是（ ）
A、 4013 B、 4014 C、 4015 D、 4016
【解析】由条件可知：，．
考虑及等差数列性质知：
，
考虑及等差数列性质知：
，故选B
【例3】设等差数列的前n项和为，已知，，若，则n的值为 ．
【解析】由条件知=，
又，，
∴，∴，，∴n=18．
【例4】 一个等差数列( 公差不为零)中的部分构成公比为的等比数列，已知
。
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和。
【解析】（1） 由成等比数列，则，即，
所以或。
由知，
所以由，， ，
所以，
所以
（2）由，可得。
【例5】 设数列、满足：(n?N*)．
（Ⅰ）若，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若是等差数列，求证也是等差数列．
【解析】设的前项和为．
（Ⅰ）由题意：，即①，
当时，有②，
由①②两式相减可得：，
当时，，也可用表示，所以对任意的都有：．
（Ⅱ）若是等差数列，设首项为，公差为，由可得，
于是①，当时，有②，
由①②两式相减可得：，
当时，，也可用表示，
所以对任意的都有：，而（），
由等差数列的定义知：也是等差数列．
【例6】设数列的首项,且
记
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论．
【解析】（Ⅰ），；
（Ⅱ）因为，所以．
所以，，．
猜想，是公比为的等比数列．
证明如下：因为，
所以是首项为，公比为的等比数列．
数列的通项与求和
【考点解读】
① 运用函数观点理解数列的通项公式，能够利用通项公式求数列中的项、研究项的性质；
② 深刻理解公式，并能运用此式实现与的转化；
③ 求数列的通项公式的几种常用方法；
④ 数列求和的几种常用方法：转化为等差等比数列法、拆项分组法、倒序相加法、裂项相加法、错位相减法等．
【典型例题】
【例1】在等比数列中，，前项和为．若数列也是等比数列，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】∵是等比数列，设公比为q，是等比数列，
∴是一常数，
设为，则对任意的正整数都成立，可解得：，q = 1，
∴，故选C．
【例2】 设，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得的值为： ．
【解析】课本中推导等差数列的前项和的公式的方法即为“倒序相加法”．
令 ①
则也有 ②
由，
可得：，
于是由①②两式相加得，所以．
【例3】已知，则数列的前n项和为： ．
【解析】数列的通项为：．
所以
．
【例4】对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是
【解析】，，切点为，
切线方程点斜式为：，
令得，令，则，令，
由错位相减法可得：．
【例5】设数列的前n项和=，求．
【解析】=，得=，
∴ =－=－+（）．∴ =+，
两边同乘以，得=+2，
∴ 是首项为1公差为2的等差数列，
∴ =2+=，解得： =．
【例6】已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点(n?N*) 均在函数的图像上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有n?N*都成立的最小正整数；
【解析】（Ⅰ）依题设，由。
又由得,,∴，所以，
当时，
当时，也符合，∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
∴，
∴要使恒成立，只要，
又∵，∴只要，即，∴的最小正整数为10．
数列的综合应用
【考点解读】
①根据函数的单调性，掌握数列与函数方程的综合问题；
②恰当的利用放缩法利用不等式的有关性质解决数列与不等式的综合问题；
③根据圆与圆锥曲线的定义结合等差、等比数列的定义与求和公式解决数列与解析几何的综合问题；
④构造数列模型或利用递推关系解决数列的实际应用问题。
【典型例题】
【例1】已知数列满足，，则时，数列的通项（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】在两边都加上，
则有：，即（*），
当时，由得，
由（*）取2，3，…，n累乘可得：，即。
选A
【例2】 已知为偶函数，且，当时，若n?N*，，则（ ）
A、 2006 B、 －2006 C、 4 D、
【解析】由为偶函数可得：
又由可得，
所以，即的周期为4，
选D
【例3】 已知(n?N*)，，则 _______
【解析】，即是以周期为4的数列，所以
【例4】将正奇数按如下规律填在5列的数表中：
则2007排在该表的第 行，第 列．
（行是从上往下数，列是从左往右数）
【解析】仔细观察可发现第1列偶数行是以15为首项，
16为公差的等差数列，所以通项公式可写为，其中取正偶数，当时，，数下来在第251行上有：第二个数开始分别为2001，2003，2005，2007，所以，2007排在该表的第251行，第5列．
【例5】 在数列中，前n项和．
（Ⅰ）求证｛an｝是等差数列；
（Ⅱ）求证：点都落在同一条直线上；
（Ⅲ）若，且P1、P2、P3三点都在以为圆心，为半径的圆外，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ），当时，，当时，也成立．
所以是首项为a，公差为2b的等差数列，．
（Ⅱ）故都在直线上．
（Ⅲ）因为1， ，易求得P1（1，0），P2（2，），P3（3，1），
由题设，解得（－∞，）（4+，+∞）．
【例6】 已知函数的图象过原点，且关于点（-1,1）成中心对称．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若数列(n?N*)满足：，求数列的通项公式；
（Ⅲ）若数列的前n项和为,判断与2的大小关系，并证明你的结论．
【解析】 (Ⅰ) 因为函数的图象过原点，即
所以c =0，即.
又函数的图象关于点（-1，1）成中心对称
所以，
(Ⅱ)由题意，开方取正得：
，即 = +1，
所以 － =1.∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴ =1+(n－1)=n，即 = ，∴an= ．
(Ⅲ)当n≥2时，an= < = － ．
所以
故2
【模拟试题】
1. 直角三角形三边成等比数列，公比为，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
2. 若等差数列的公差，则（ ）
A. B.
C. D. 与的大小不确定
3. 设是等差数列的前项和，若，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 设，则等于（ ）
A. B.
C. D.
5. 设数列的前项和为，则的值是 （ ）
A. －10 B. 0 C. 10 D. 22
6. 设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝
A. B. C. D.
7. 已知等差数列的前项和为，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则＝ （ ）
A. 200 B. 201 C. 100 D. 101
8. 设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，则数列的前项和的取值范围是 （ ）
A. [，2） B. [，2] C. [，1] D. [，1）
9. 设数列的前n项和为，(对于所有)，且，则的数值是 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 数列满足首项，那么使成立的的值是 （ ）
A. 21 B. 20 C. 20或21 D. 21或22
11. 已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的 ( )
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
12. 如果A是a， b的等差中项，G是a， b的正的等比中项，那么ab与AG之间的关系是 （ ）
A. B.
C. D. 不具备上述三种关系
13. 项数为的等差数列，奇数项和为102，偶数项和为85，则项数为 .
14. 已知数列中，则的前项和为 .
15. 若直角三角形三边成等比数列，则公比 .
16.设等比数列的首项为8，前项的和为，甲同学算得，老师说有一个算错了，则错误的是____________;
17. 已知数列为等差数列，且，.
（1）求数列的通项公式；（2）证明.
18. 已知数列中，，，数列满足；
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列中的最大值和最小值，并说明理由.
19. 已知数列{an}的前n项和满足：.
（Ⅰ）写出该数列{an}的前3项a1，a2，a3；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式.
20. 等比数列的公比为，前项和
（Ⅰ）求q的取值范围；
（Ⅱ）设，记的前项和为，试比较和的大小.
21. 定义在N*上的函数满足：f(0) = 2，f(1) = 3，且.
（Ⅰ）求f(n)（n?N*）；
（Ⅱ）求.
22. 设是公比为的等比数列的前项和是否存在实数，使得“成等差数列”与“成等差数列”同时成立 若存在求出的值，若不存在请说明理由
【参考答案】
1. D. 2. B. 3. A. 4. D. 5. A 6. A
7. C 8. D 9. B 10. A 11. B 12. D
13. 11 14. 15. 16. S3
17. (1)∵为等差数列,设公差为
∴
即为非零常数
∴是以为首项,为公比的等比数列
∴,∴,
又,∴,∴,∴.
(2)由(1)知, ,∴,
∴
18. (1),而,
∴,
故数列是首项为，公差为1的等差数列；
（2）由（1）得，则；
设函数，则，
∴函数在和上均为减函数，
当时，；
当时，；且，
当趋向于时，接近1，∴，.
19. （Ⅰ）当n=1时，有：；
当n=2时，有：；
当n=3时，有：；
综上可知a1=1,a2=0,a3=2。
（Ⅱ）由已知得：，
化简得：，
上式可化为：，
故数列{}是以为首项，公比为2的等比数列，
故。 ∴。
数列{}的通项公式为：。
20. （Ⅰ）是等比数列，∴，
当q =1时，，
当时，360docimg_501_，即360docimg_502_等价于360docimg_503_，或360docimg_504_，
得360docimg_505_或360docimg_506_综上q的取值范围是360docimg_507_.
（Ⅱ）由360docimg_508_得360docimg_509_，360docimg_510_，
∴360docimg_511_∵360docimg_512_或360docimg_513_
∴当360docimg_514_或360docimg_515_时，360docimg_516_即360docimg_517_；
当360docimg_518_且360docimg_519_时，360docimg_520_即360docimg_521_；
当360docimg_522_，或360docimg_523_时，360docimg_524_即360docimg_525_.
21. （Ⅰ）由题意：360docimg_526_，
所以有：360docimg_527_，
又360docimg_528_，所以360docimg_529_，
即360docimg_530_，故360docimg_531_.
（Ⅱ）360docimg_532_.
22. 当360docimg_533_成等差数列时，有 360docimg_534_ 即 360docimg_535_，
又因为360docimg_536_，所以 360docimg_537_ 或 360docimg_538_.
当360docimg_539_时，则 360docimg_540_，360docimg_541_，360docimg_542_，
由360docimg_543_得 360docimg_544_ ，则“360docimg_545_成等差数列”不成立 ；
当360docimg_546_时，360docimg_547_，
360docimg_548_，
即 360docimg_549_，所以“360docimg_550_成等差数列”也成立.
于是当360docimg_551_时，“360docimg_552_成等差数列”与“360docimg_553_成等差数列”同时成立.
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