角的概念与任意角的三角函数、同角三角函数关系式与诱导公式

2012-06-01

角的概念与任意角的三角函数、同角三角函数关系式与诱导公式

 

. 本周教学重、难点:

1. 理解任意角的概念、弧度的意义;能正确地进行弧度与角度的换算;掌握任意角的正弦、余弦、正切、余切的概念;了解余切、正割、余割的定义。

2. 掌握同角三角函数关系的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式。

 

【典型例题】

[1]

的顶点与坐标原点O重合,其始边与
轴的正半轴重合。

1)若角

的终边上有一点P
)(
)求

2)已知角

的终边上一点P的坐标为(
)(
)且
,求

解:1

   因为

所以当

时,点P在第四象限

时,点P在第二象限

2

,所以

所以当

时,

时,

 

[2] 已知一扇形的中心角是

,所在圆的半径是R,(1)若
R=
,求扇形的弧长交该弧所在的弓形面积。(2)若扇形的周长是一定值
,当
为多少弧度时,该扇形有最大面积?

解:1)设弧长为

,弓形面积为
,因为
R=10,所以

2)因为扇形周长

,所以

所以

所以当且仅当

,即
舍去)时,扇形面积有最大值

 

[3]

,求

的值。

解:

    
    

同理,

原式

 

[4] 如图所示,动点PQ从点(40)出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转

弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转
弧度,求PQ第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及PQ点各自走过的弧长。

解:PQ第一次相遇时所用的时间是

,则

所以

(秒),即第一次相遇的时间为4

设第一次相遇点为C,第一次相遇时P点已运动到终边在

的位置

所以C点的坐标为(

),P点走过的弧长为
Q点走过的弧长为

 

[5]1)若

,求值①
;②

2)求值

解:1)① 原式

原式

2)∵

原式

 

[6] 已知对于任意实数

,均有
,与
成立,当
时,有
,求
的值。

解:

    

 

[7] 已知

,求
的值。

解:

    

    

    
    
   

  
时,

    
,当
时,有同样的结果

 

[8] 已知

1)求

的值;

2)求

的值。

解:1)由

,得

2)由(1)知

 

[9] 已知关于

的方程
的两根为
,求:

1

的值

2

的值

3)方程的两根及此时

的值

解:

1

 

2①式两边平方:

   

由②:

   

3)当

时,原方程变为

   
   

 

[10] 已知

的面积S满足
,且
的夹角为

1)求

的取值范围;(2)求函数
的最小值。

解:1

 

  

   
    

的夹角   
    

2

    

时,
的最小值为3

 

【模拟试题】

. 选择题:

1. 若角

的终边与直线
重合,且
,又Pmn)是角
终边上一点,且
,则
等于(   

    A.

    B.
    C. 2    D. 4

2.

为第三象限的角,那么
的值(   

    A. 大于零    B. 小于零    C. 等于零    D. 不确定

3. 已知

为第三象限角,则
所在的象限是(   

A. 第一或第二象限                          B. 第二或第三象限

C. 第一或第三象限                          D. 第二或第四象限

4. 对任意的锐角

,下列不等关系中正确的是(   

A.

B.

C.

D.

5. 若实数

满足
,则
的值等于(   

    A.

    B.
    C. 11    D. 9

6. 已知函数

为非零实数),且满足
,则
的值为(   

    A. 6    B. 3    C. 2    D. 不确定

7. 已知

,那么
的值为(   

    A. 6    B. 4    C. 2    D. 0

8.

,则
的值为(   

A.

    B.
    C.
    D.

 

. 解析题:

1.

,且
不在同一象限,求
的值。

2. 已知

1)求

的值;

2)求

的值。

3.1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的中心角;(2)已知扇形周长为40,当它的半径和中心角取何值时,才使扇形面积最大?

4. 已知

是方程
的两个根中较小的根,求
的值。


【试题答案】

.

1. C

解析:

,知角
的终边在第三或第四象限或
轴的负半轴上,而直线
在第一、三象限。

故角

的终边在第三象限    

在直线
   

同时,

,可得

,解得
(舍),故

2. B

    解析:

为第三象限的角,∴
,而
,故其值小于零。

3. D

    解析:特殊值法,取

,则

4. D

    解析:

,则可淘汰AB;若
,则可淘汰C

5. C

解析:

   
    

    

6. C

解析:由已知条件得

7. B

解析:

    
   

    解得
(舍去)

,得
  

8. B

解析:

 

.

1. 解析:1)当

在第一象限,
在第二象限时,
),
),则有

2)当

在第一象限,
在第三象限时,

,则有

3)当

在第二象限,
在第三象限时,

,则有

综上,得

2. 解析:1

,平方得

整理得

   

    

2

3. 解析:1)设中心角是

,半径是

4,故

2)设中心角是

,半径是
,则

当且仅当

,即
时,

时,扇形面积最大。

4. 解析:

是方程
的较小根    方程的较大根是

   

   解得

时,

时,
,不合题意

 

 

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