坦率地说，这不是一期能够让你说说笑笑之间一鼓作气就看完的节目，你需要暂停很多次，思考刚刚听到了什么——听到了怎样的文本内容，听到了怎样的音乐形式。
虽然音乐总是给人带来轻松愉悦，但乐理研究绝非如此，即便“如何确定一个音阶”这样最基础的问题，也要涉及缠绵的数学运算——本期节目将精练地讨论四种。
付出极大的辛劳制作这样一期节目，有三个目的：为那些对音乐存有真挚热爱而无暇学习的观众制作一期值得收藏的乐理节目；提醒那些用沉溺于“寓教于乐”的观众，付出艰辛的思考永远是学习的必经之路；为接下来两期更加豪华的节目奠定低声部。
－文字稿－
坦率地说，这是一个非常简单的数学问题：
所谓音乐，就是按照某种节奏依次连接不同频率的声音，而人耳是一种非常灵敏的机械波感受器，并不是随便两个声音连在一起就能觉得好听——在绝大多数情况下，如果两个声音的频率接近简单的整数比，那么它们接连奏响就比较好听——最简单的比例当然是1：1和1：2，但这未免太单调了，我们想要在两者之间找到广阔的天地。
幸亏声音的频率直接反比于弦乐器的弦长，或者管乐器的气柱长，所以通过打孔或者改弦，人类很早就开始研究声律法了。
比如我们很早就介绍过毕达哥拉斯学派的五度相生律，他们首先考虑了2/3的情况：
先取某个长度的琴弦作为基准，当作C，剪掉C的1/3，得到了G；然后延长G的1/3，得到了D；再剪掉D的1/3，得到了A；再延长A的1/3，得到了E；再剪掉E的1/3，就得到了B。
这样每次剪短都是纯五度，而每次延长都是纯四度，新生成的5个音，连同最初的C，相邻两个的频率比例都是9/8，而且B和下一个C的频率比例是256/243，相当于预期的9/8的一半，但是E和G之间缺一个音，那就给下一个C延长一半， 就得到了F——F与G的比例也是9/8，与E的比例也是256/243，可以说很不简单了。
就这样，西方人得到了最初的七个音阶，也就是日后钢琴上的白键。
无独有偶，中国人也给竹管加1/3或者减1/3，即所谓的“三分损益法”：宫调开始得到商、角、徵、羽四个音，而放弃了最后两个有些叛逆的B和E。
但是在古典时代，西方数学长于几何，而东方数学长于算数，中国人尝试了更加极端的三分损益，据《史记》记载：取九九八十一为基本长度，定名为黄钟，也就是C，由此开始连环三分损益，得到了应钟，也就是B，仍不停下，而后得到了蕤宾，也就是F#，继续损益，最终产生的清黄钟长度是，约39.9548，这比理想的半个黄钟，40.5还差一点儿。但也无可奈何。
同时，这也产生了5个变化的音，当西方人在文艺复兴时代做出同样的计算时，就把这几个音制成了小键琴和大键琴的黑键。
但五度相生律毕竟古老，它的缺陷非常严重：七个基本音只有纯五度和纯四度一种和谐关系，其余大三度是81/64（C-E），小三度是32/27（E-G），都不是简单的整数比，严重限制了音乐的可能。
欧洲人尝试了很多修正法，一种称为纯律的做法是给E的弦长做了些微小的调整，乘上了80/81这个很接近1的数字，使得CE大三度成了5/4，EG小三度成了6/5——用类似的方法修改A和B——但这也无非是拆东墙补西墙，不和谐仍然显著。
另一类稍好的做法称为中庸律，就是让五度变得平均，把这些不和谐分摊掉。比如将五度相生律的生成系数，3/2这个和谐的简单分数，换成5的4次方根，大约是1.4953，这样纯五度的变化不甚剧烈，而大三度和小三度都将变得和谐——这类实践在16世纪以后的欧洲丰富起来，和声乐理因此迅速发展，效果华丽讲究对位的复调音乐渐入佳境。
与此同时，中国人算数的功力更加精湛出众：既然五度相生律让人们养成了将二倍的频率分成十二份的习惯，那么在最理想的条件下，就应该将这十二份构成等比数列，这个比值显然是2的12次方根，一个无理数，本来就不能以简单整数表示，这就是五度相生律和纯律那些瑕疵的来源，而中庸律已然摸到了门道，所以好用很多，只是算数不够强大。
于是在万历十二年，东方百科艺术全书式的人物，朱载堉（1536年－1610年），用算盘硬生生精确计算出了2的12次方根的25位小数，推出了全新的“十二平均律”。
2的12次方根虽然是个无理数，但它们的两两比值却非常接近五度相生律的简单整数比，让人耳难以察觉，同又时排除了五度相生的瑕疵，这种无懈可击的生律法经意大利传教士利玛窦介绍给了法国著名的数学家梅森，写进《宇宙和谐》（L'Harmonie universelle），这或许给欧洲音乐带来了至关重要的启发，研究如何将无理数的不和谐均摊在所有的音上。巴赫因此创作了精湛的赋格与卡农，将巴洛克音乐推上了空前的高峰，再后来有了更加准确的钢琴，欧洲的音乐才渐渐有了今天的模样。
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