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这原是“逼乎”上的一遍问答,我也在博客网站上看到了同样的转载博文,可是由于图片转载不过来影响了阅读,我在这里重新把图像转载到了CSDN,并且不是完全照搬原文,而是增加了一些其他的东西进去,供大家阅读。感谢原作者!
从傅里叶变换到小波变换,并不是一个完全抽象的东西,可以讲得很形象。小波变换有着明确的物理意义,如果我们从它的提出时所面对的问题看起,可以整理出非常清晰的思路。
下面我就按照傅里叶–>短时傅里叶变换–>小波变换的顺序,讲一下为什么会出现小波这个东西、小波究竟是怎样的思路。
小波,一个神奇的波,当去学习小波的时候,第一个首先要做的就是回顾傅立叶变换(又回来了),因为他们都是频率变换的方法,而傅立叶变换是最入门的,也是最先了解的,通过傅立叶变换,了解缺点,改进,慢慢的就成了小波变换。主要的关键的方向是傅立叶变换、短时傅立叶变换,小波变换等,第二代小波的什么的就不说了,太多了没太多意义。当然,其中会看到很多的名词,例如,内积,基,归一化正交,投影,Hilbert空间,多分辨率,父小波,母小波,这些不同的名词也是学习小波路上的标志牌,所以在刚学习小波变换的时候,看着三个方向和标志牌,可以顺利的走下去,当然路上的美景要自己去欣赏(这里的美景就是定义和推导了)。因为内容太多,不是很重要的地方我都注释为(查定义)一堆文字的就是理论(可以大体一看不用立刻就懂)。
傅立叶变换和小波变换,都会听到分解和重构,其中这个就是根本,因为他们的变化都是将信号看成由若干个东西组成的,而且这些东西能够处理还原成比原来更好的信号。那怎么分解呢?那就需要一个分解的量,也就是常说的基,基的了解可以类比向量,向量空间的一个向量可以分解在x,y方向,同时在各个方向定义单位向量
e
1
e_1
e1、
e
2
e_2
e2,这样任意一个向量都可以表示为
a
=
x
e
1
+
y
e
2
a=xe_1+ye_2
a=xe1+ye2,这个是二维空间的基,
当有了基,以后有什么用呢?
下面看一个傅立叶变换的实例:
对于一个信号的表达式为
x
=
s
i
n
(
2
π
t
)
+
0.5
s
i
n
(
2
π
∗
5
t
)
x=sin(2πt)+0.5sin(2π*5t)
x=sin(2πt)+0.5sin(2π∗5t);
这里可以看到是他的基就是sin函数,频率是1和5,下面看看图形的表示,是不是感受了到了频域变换给人的一目了然。
在Hilbert(希尔伯特)空间(查定义)里看到这个东西,用来刻画两个向量的夹角,当内积为0时,两个向量正交,若g为Hilbert空间里的正交基的时候,内积为f向基上的正交投影;(Hilbert空间是一个很直观的空间,我一直都理解为欧氏空间去理解定义在其上的东西,
L
2
L^2
L2(平方可积,查定义)和
l
2
l^2
l2同样为Hilbert空间。
下面这个公式是基本,经过变形后会用在推导中:
先列举出来缺点,然后再说明:
(1)Fourier分析不能刻画时间域上信号的局部特性
(2)Fourier分析对突变和非平稳信号的效果不好,没有时频分析
傅立叶变换傅立叶变换将函数投影到三角波上,将函数分解成了不同频率的三角波,这不能不说是一个伟大的发现,但是在大量的应用中,傅立叶变换的局限性却日趋明显,事实上在光滑平稳信号的表示中,傅立叶基已经达到了近似最优表示,但是日常生活中的信号却并不是一直光滑的,而且奇异是平凡的,傅立叶在奇异点的表现就着实让人不爽,从对方波的傅立叶逼近就可以看出来,用了大量不同频率的三角波去逼近其系数衰减程度相当缓慢,而且会产生Gibbs(吉布斯)效应。其内在的原因是其基为全局性基,没有局部化能力,以至局部一个小小的摆动也会影响全局的系数。实际应用中很需要时频局部化,傅立叶显然缺乏此能力了。即使如此,由于其鲜明的物理意义和快速计算,在很多场合仍然应用广泛。傅立叶变换在从连续到离散的情形是值得借鉴与学习的,大家都知道,时间周期对应频域离散,时间离散对应频域周期,时间离散周期对应频域离散 周期,DFT其实是将离散信号做周期延拓然后做傅立叶变换再截取一个周期,反变换同样如此,所以DFT用的是块基的概念,这样如果信号两端的信号连接后不再光滑(即使两边都光滑),同样会在边界上产生大幅值系数(边界效应),延伸到图像中就是块效应。当对信号做对称周期延拓后再做傅立叶变换得到的正弦系数全部为0,也就是任何对称函数可以写成余弦的线性组合,同样按照离散的思路构造得到的是离散块余弦基,即DCT变换,虽然DCT可以通过对称后周期延拓再变换减少了边界效应(两边信号接上了,但不一定平滑),但任不能消除块效应,尤其是图像变换中人为将图像分成8*8处理后块效应更加明显。但是DCT很好的能量聚集效应让人惊奇,加之快速计算方法使它替代DFT成为图像的压缩的标准了很长时间(JPEG)。
上面一堆文字也许看的有点蒙,还是用图来说明
第一个就是傅立叶变换是整个时域,所以没有局部特征,这个也是他的基函数决定的看图,同时如果在时域张有了突变,那么在频域就需要大量的三角波去拟合,这也是傅立叶变换性质决定的。
第二个就是面对非平稳信号,傅立叶变换可以看到由哪些频域组成,但是不知道各成分对应的时刻是什么,也就是没有时频分析,看不出来信号频域随着时间变换的情况,反过来说就是,一个的频图对应好几个时域图,不知道是哪个,这个在实际应用中就不好了,看图
有了缺点就要改进了,这里就出来了短时傅立叶变换,也叫加窗傅立叶变换,顾名思义,就是因为傅立叶变换的时域太长了,所以要弄短一点,这样就有了局部性。
定义:把整个时域过程分解成无数个等长的小过程,每个小过程近似平稳,再傅里叶变换,就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。这就是短时傅里叶变换。下面就是示意图
(这里插一句,这个道理可以用海森堡不确定性原理来解释。类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置,我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是一对鱼和熊掌,不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在,我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。所以绝对意义的瞬时频率是不存在的。)
上图对同一个信号(4个频率成分)采用不同宽度的窗做STFT,结果如右图。用窄窗,时频图在时间轴上分辨率很高,几个峰基本成矩形,而用宽窗则变成了绵延的矮山。但是频率轴上,窄窗明显不如下边两个宽窗精确。
真是千呼万唤始出来了,终于看见小波了啊。
这里先引入小波,回顾一下基,然后再看看小波的优点,其实就是上面傅立叶缺点的解决。
对于加窗傅立叶变换让人头疼的就是窗口的大小问题,如果我们让窗口的大小可以改变,不就完美了吗?答案是肯定的,小波就是基于这个思路,但是不同的是。STFT是给信号加窗,分段做FFT;而小波变换并没有采用窗的思想,更没有做傅里叶变换。小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率,还可以定位到时间了~
这里就又回到了最开始的基了。
这个基函数会伸缩、会平移(其实是两个正交基的分解)。缩得窄,对应高频;伸得宽,对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度(宽窄)下乘出来的结果,就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是,基函数会在某些尺度下,与信号相乘得到一个很大的值,因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。如前边所说,小波做的改变就在于,将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。效果如下图
做傅里叶变换只能得到一个频谱,做小波变换却可以得到一个时频谱!
知识原理补充:
1.关于海森堡不确定性原理(测不准原理)
不确定性原理,或者叫测不准原理,最早出自量子力学,意为在微观世界,粒子的位置与动量不可同时被确定。但是这个原理并不局限于量子力学,有很多物理量都有这样的特征,比如能量和时间、角动量和角度。体现在信号领域就是时域和频域。不过更准确一点的表述应该是:一个信号不能在时空域和频域上同时过于集中;一个函数时域越“窄”,它经傅里叶变换的频域后就越“宽”。
如果有兴趣深入研究一下的话,这个原理其实非常耐人寻味。信号处理中的一些新理论在根本上也和它有所相连,比如压缩感知。如果你剥开它复杂的数学描述,最后会发现它在本质上能实现其实和不确定性原理密切相关。而且大家不觉得这样一些矛盾的东西在哲学意义上也很奇妙吗?
2.关于正交化
什么是正交化?为什么说小波能实现正交化是优势?
简单说,如果采用正交基,变换域系数会没有冗余信息,变换前后的信号能量相等,等于是用最少的数据表达最大的信息量,利于数值压缩等领域。JPEG2000压缩就是用正交小波变换。
比如典型的正交基:二维笛卡尔坐标系的(1,0)、(0,1),用它们表达一个信号显然非常高效,计算简单。而如果用三个互成120°的向量表达,则会有信息冗余,有重复表达。
但是并不意味着正交一定优于不正交。比如如果是做图像增强,有时候反而希望能有一些冗余信息,更利于对噪声的抑制和对某些特征的增强。
3.关于瞬时频率
原问题:图中时刻点对应一频率值,一个时刻点只有一个信号值,又怎么能得到他的频率呢?
很好的问题。如文中所说,绝对意义的瞬时频率其实是不存在的。单看一个时刻点的一个信号值,当然得不到它的频率。我们只不过是用很短的一段信号的频率作为该时刻的频率,所以我们得到的只是时间分辨率有限的近似分析结果。这一想法在STFT上体现得很明显。小波用衰减的基函数去测定信号的瞬时频率,思想也类似。(不过到了Hilbert变换,思路就不一样了,以后有机会细讲)
4.关于小波变换的不足
这要看和谁比了。
A.作为图像处理方法,和多尺度几何分析方法(超小波)比:
对于图像这种二维信号的话,二维小波变换只能沿2个方向进行,对图像中点的信息表达还可以,但是对线就比较差。而图像中最重要的信息恰是那些边缘线,这时候ridgelet(脊波), curvelet(曲波)等多尺度几何分析方法就更有优势了。
B. 作为时频分析方法,和希尔伯特-黄变换(HHT)比:
相比于HHT等时频分析方法,小波依然没脱离海森堡测不准原理的束缚,某种尺度下,不能在时间和频率上同时具有很高的精度;以及小波是非适应性的,基函数选定了就不改了。
上面讲了那么多,仅仅也就是走进小波的大门,具体的我们还要学习子空间、多分辨率,母小波的变换,如何去构造想要的小波函数,然后还有离散小波变换,正交小波变换,二维小波变换,小波包的应用等。好像还有很多要学习的。
小波是多分辨率理论的分析基础。而多分辨率理论与多种分辨率下的信号表示和分析有关,其优势很明显–某种分辨率下无法发现的特性在另一个分辨率下将很容易被发现。从多分辨率的角度来审视小波变换,虽然解释小波变换的方式有很多,但这种方式能简化数学和物理的解释过程。
对于小波的应用很多,我学习的的方向主要是图像处理,所以这里用图像的应用来举例。对于图像,要知道量化级数决定了图像的分辨率,量化级数越高,图像越是清晰,图像的分辨率就高。
例一:哈尔小波图像分解
创建时间:2020年10月24日 11:04:58
发表时间:2020年10月24日 13:33:58
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