第一章 数的整除知识点的整理
1.1 整数和整除的意义
(1)零和正整数统称为自然数.
正整数、零、负整数统称为整数.
最小的自然数是0. 最小的正整数是1.
例如:12,0,—7都是整数. 1.5,不是整数.
(2)整数除以整数,如果除得的商是整数且余数为零,我们就说 能被整除;或者说能整除.
例如 24÷2=12 我们说:24能被2整除,2能整除24.
注意:“3个字换,4个字不换”.
(3)数除以数,如果商是整数或有限小数,我们就说能被除
尽;或者说能除尽.如果商是无限循环小数,我们就说不
能被除尽;或者说除不尽.
例题1 下列哪一个算式的被除数能被除数整除?
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10÷3 48÷8 6÷4
解:∵10÷3=3.3
∴10不能被3除尽,或3除不尽10.
∵48÷8=6
∴48能被8整除,或8能整除48.
∵6÷4=1.5
∴6能被4除尽,或4能除尽6.
整除的条件: 1. 被除数、除数都是整数.
2. 商是整数而且余数为零.
1.2 因数和倍数
(1)整数能被整数整除,叫做的倍数,叫做的因数(也称为约数).
例如 12÷2=6 我们说:12是2的倍数,2是12的因数.
一般情况下,大数是小数的倍数,小数是大数的因数.
例题2 分别写出16和13的因数.
解:16的因数有1,2,4,8,16.
13的因数有1,13.
☆求因数的方法:用除法,从1开始试到这个数本身.
☆一个整数的因数有有限个,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身.
例题3 写出2和5的倍数.
解:2的倍数有2,4,6,8,10,…
5的倍数与5,10,15,20,25,…
☆求倍数的方法:用乘法,从这个数本身开始,找它的2倍,3倍,…
☆一个整数的倍数有无数个,最小的倍数是它本身,最大的倍数是没有.
1.3 能被2,5,3整除的数
(1)能被2整除的数个位上是0,2,4,6,8.
能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数.
奇数的个位上是1,3,5,7,9.
偶数的个位上是0,2,4,6,8.
注意:0,—2,—4也是偶数,—1,—3也是奇数.
(2)能被5整除的数个位上是0或5.
既能被2整除又能被5整除的数个位上是0.
(3)能被3整除的数的各位数字之和能被3整除.
1.4 素数、合数与分解素因数
(1)一个正整数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数(或质数). 如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫做合数.
素数: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…
合数: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,…
☆2是最小的素数,唯一的偶素数. 4是最小的合数.
9是最小的奇合数.
☆1既不是素数,也不是合数.这样正整数又可以分成1、素数和合数三类.
☆100以内的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97. 共25个.
2~100的正整数中,除2,3,5,7以外,不是2,3,5,7的倍数的数都是
素数.
例题4 判断18,27,29,35,37,91是素数还是合数.
解:29,37是素数.(它们不是2,3,5,7的倍数)
18,27,35,91是合数.(它们分别是2,3,5,7的倍数)
(2)每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数.把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数.
☆素因数既是素数,也是合数的因数.
例题5 把60分解素因数.
解:
注意:60的素因数有2,2,3,5. 共4个.
☆用短除法分解素因数
(1)用2,3,5,7,…作为除数去试商. (2)直到商为素数.
(3)将除数和商一起从小到大写成连乘的形式.
1.5 公因数与最大公因数
(1)几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数;其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.
例如:24和32的公因数有1,2,4,8. 最大公因数是8.
(2)如果两个整数只有公因数1,那么称这两个数互素.
注意:(1)两个不同的素数一定互素.例如:3和7.
(2)连续的正整数一定互素.例如:14和15.
(3)1与任意正整数互素.例如:1和8.
(4)一个是素数,另一个是合数,但合数不是素数的倍数,
这两个数互素.例如:16和23.
(5)最大公因数为1的两个合数互素.例如:4和9.
例题6 求18和30的最大公因数.(分解素因数法)
解:
∴18和30的最大公因数为.
☆最大公因数=公有素因数的乘积
例题7 求48和60的最大公因数.(短除法)
解:
∴48和60的最大公因数为.
☆用公有素因数作为除数,连续去除直到商互素.最大公因数=所有除数的乘积.
(3)两个整数中,如果两个数有倍数关系,那么最大公因数为它们的较小数.如果两个数互素,那么最大公因数为1.
例如:3和15的最大公因数为3.
6和7的最大公因数为1.
1.6 公倍数与最小公倍数
(1)几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个叫做的它们的最小公倍数.
例如:3和4的公倍数有12,24,… 最小公倍数是12.
例题8 求18和30的最小公倍数.(分解素因数法)
解:
∴18和30的最小公倍数为.
☆最小公倍数=公有素因数和剩余素因数连乘的积.
例题9 求36和48的最小公倍数.(短除法)
解:
∴36和48的最小公倍数为.
☆用公有素因数作为除数,连续去除直到商互素.最小公倍数=所有除数和商的乘积.
(2)两个整数中,如果两个数有倍数关系,那么最小公倍数为它们的较大数. 如果两个数互素,那么最小公倍数为它们的乘积.
例如:3和15的最小公倍数为15.
6和7的最小公倍数为6×7=42.
拓展 求三个整数的最小公倍数
例题 求8,12和30的最小公倍数.
8,12和30的最小公倍数为2×2×3×2×1×5=120.
☆先用三个数的公因数2;再用两个数的公因数2,3;直到任意两
个商都互素,把所有的除数和商都相乘.
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