2005年全国初中数学联赛初赛试卷
3月25日下午2:30-4:30或3月26日上午9:00-11:30
学校___________ 考生姓名___________
题 号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 合 计 |
得 分 | ||||||
评卷人 | ||||||
复核人 |
一、选择题(每小题7分,共计42分)
1、若a、b为实数,则下列命题中正确的是( )
2、已知:a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是( )
(A) 0 (B) 3 (C) 22005 (D)3·22005
3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成,黑皮为正五边形,白皮为正六边形,(如图),如果缝制好的这种足球黑皮有12块,则白皮有( )块。
(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22
4、在Rt△ABC中,斜边AB=5,而直角边BC、AC之长是一元二次方程x2-(2m-1)x+4(m-1)=0的两根,则m的值是( )
(A)4 (B)-1 (C)4或-1 (D)-4或1
5、在直角坐标系中,横坐标都是整数的点称为整点,设k为整数,当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整数时,k的值可以取( )
(A)2个 (B)4个 (C)6个 (D)8个
6、如图,直线x=1是二次函数 y=ax2+bx+c的图像的对称轴,则有( )
(A)a+b+c=0 (B)b>a+c (C)c>2b (D)abc<0
二、填空题 (每小题7分,共计28分)
1、已知:x为非零实数,且
2、已知a为实数,且使关于x的二次方程x2+a2x+a = 0有实根,则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.
3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点,PC与⊙o相切于点C,∠APC的角平分线交AC于Q,则
则∠PQC = _________.
4、对于一个自然数n,如果能找到自然数a和b,使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”,例如:
3=1+1+1×1,则3是一个“好数”,在1~20这20个自然数中,“好数”共有__________个。
三、(本题满分20分)设A、B是抛物线y=2x2+4x-2上的点,原点位于线段AB的中点处。
试求A、B两点的坐标。
B A O E D C
五、(本题满分25分)设x = a+b-c ,y = a+c-b ,z = b+c-a ,其中a、b、c是待定的质数,如果x2 = y ,
2005年全国初中数学联赛初赛试题参考解答及评分标准
一、选择题(每小题7分,共计42分)
1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C
二、填空题 (每小题7分,共计28分)
1、 a2-2 2、
三、解:∵原点是线段AB的中点
设点A的坐标为(a,b),则点B的坐标为(―a,―b)………………………………5分
又 A、B是抛物线上的点,分别将它们的坐标代入抛物线解析式,得:
……………………………………………………………………10分
-b = 2a2-4a-2
解之得: a = 1 , b = 4 或者a = -1 ,b = -4……………………………………………………15分
故 A为(1,4),B为(-1,-4) 或者 A(-1,-4),B(1,4).………………………20分
B A O E D C 4 3 2 1
四、解:如图连结AD,则∠1=∠2=∠3=∠4
∴ΔCDE∽ΔCAD
∴
又∵ΔADE∽ΔBDA
∴
由①、②及AB=AC,可得AE=CD …………15分
又由ΔCDE∽ΔCAD可得
设AE=x,则CE=d-x ,于是 x2=d(d-x)
即有AE = x =
五、解:∵a+b-c=x, a+c-b=y, b + c-a =z ,
∴a=
又∵ y=x2 , 故 a=
b=
c=
∴x=
∵x是整数,得1+8a=T2,其中T是正奇数。 ………………10分
于是,2a=
∴T=5 ,a=3 ……………………15分
将a=3代入(4) 得 x=2或-3.
当x=2时,y=x2=4,
因而
代入(2)、(3)可得b=9 ,c=10,
与b、c是质数矛盾,当舍去。 ……………………………………20分
当x=-3时,y=9 .
∴z=25
代入(2)、(3)可得 b=11,c=17
∴abc=3×11×17=561 ………………………………………25分
联系客服