八年级数学竞赛讲座第六讲 实数的概念及性质

第六讲  实数的概念及性质

数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．

从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系．

由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．

    有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：

1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数 的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数 的形式，这里 、 是互质的整数，且 ．

2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．

例题求解

【例1】若a、b满足 3=7，则S＝ 的取值范围是        ．

   (全国初中数学联赛试题)

思路点拨  运用 、 的非负性，建立关于S的不等式组．

   注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死．

【例2】 设 是一个无理数，且a、b满足ab－a－b+1=0，则b是一个(    )

  A．小于0的有理数    B．大于0的有理数  C．小于0的无理数  D．大于0的无理数

    (武汉市选拔赛试题)

思路点拨  对等式进行恰当的变形，建立a或b的关系式．

【例3】已知a 、b是有理数，且 ，求a、b的值．

思路点拔  把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a、b的方程组．

【例4】(1) 已知a、b为有理数，x，y分别表示 的整数部分和小数部分，且满足axy+by²＝1，求a+b的值． (南昌市竞赛题)

(2)设x为一实数，[x]表示不大于x的最大整数，求满足[－77.66x]=[－77.66]x+1的整数x的值．(江苏省竞赛题)

思路点拨  (1)运用估算的方法，先确定x，y的值，再代入xy+by²＝1中求出a、b的值；(2)运用[x]的性质，简化方程．

注： 设x为一实数，则[x]表示不大于x的最大整数，[x]]又叫做实数x的整数部分，有以下基本性质：

 (1)x－1<[x]≤x  (2)若y< x，则[y]≤[x] (3)若x为实数，a为整数，则[x+a]= [x]+ a．

 

【例5】 已知在等式 中，a、b、c、d都是有理数，x是无理数，解答：

(1)当a、b、c、d满足什么条件时，s是有理数；

(2) 当a、b、c、d满足什么条件时，s是无理数．

    (第13届“希望杯”邀请赛试题)

   思路点拨  (1)把s用只含a、b、c、d的代数式表示；(2)从以下基本性质思考：

设a 是有理数，r是无理数，那么①a+r是无理数；②若a ≠0，则a r也是无理数；③

r的倒数 也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a、b、c、d取值进行详细讨论．

注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示威几十有理数的和，差，积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾．

学历训练

1．已知x、y是实数， ，若 ，则a=       ．

    (2002年北京市中考题)

2．一个数的平方根是 和 ，那么这个数是       ．

3．方程 的解是       ．

4．请你观察思考下列计算过程：∵11²＝121，∴ ；同样∵111²=12321，∴ ；…由此猜想        ．

    (2003年济南市中考题)

5．如图，数轴上表示1、 的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是(    )

A．   B．   C．   D．

    (2003年江西省中考题)

6．已知x是实数， 则 的值是(    )

  A．    B．   C．   D．无法确定的

       (第14届“希望杯”邀请赛试题)

7．代数式 的最小值是(    )

  A．0      B．    C．1    D．不存在的

    (第12届“希望杯”邀请赛试题)

8．若实数a、b满足 ，求2b+a－1的值．

(2002年山西省中考题)

 

9．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．

  ， ； ， ； ， ；…

  (1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；

  (2)推算出OA₁₀的长；

  (3)求出S_l²+S₂²+S₃²+…+S²₁₀的值．    (2003年烟台市中考题)

10．已知实数 a、b、c满足 ，则a(b+c)=      ．

11．设x、y都是有理数，且满足方程 ，那么x－y的值是    ．

    (第13届“希望杯’邀请赛试题)

12．设a是一个无理数，且a、b满足ab+a－b＝1，则b=     ．

    (2002年四川省竞赛题)

13．已知正数a、b有下列命题：

    ①若a=1，b＝1，则 ；  ②若 ，则 ；

    ③若a＝2，b=3，则 ；  ④若a=1，b=5，则 ．

    根据以上几个命题所提供的信息，请猜想，若a=6，b=7，则       ．

    (2002年黄冈市竞赛题)

14．已知： ，那么代数式 的值为(    )

A．      B．   C．    D．

    (重庆市竞赛题)

15．设[x]表示最接近x的整数(x≠n+0.5，n为整数)，则[ ]+[ ]+[ ]+…+[ ]的值为(    )

   A．5151     B．5150    C．5050    D．5049

(第14届“五羊杯”邀请赛试题) 

16．设a<b<0， ，则 的值为(    )

  A．      B．      C．     D．3

    (2002年全国初中数学竞赛题)

17．若a、b、c为两两不等的有理数，求证： 为有理数．

18．某人用一架不等臂天平称一铁块a的质量，当把铁块放在天平左盘中时，称得它的质量为300克，当把铁块放在天平的右盘中时，称得它的质量为900克，求这一铁块的实际质量．

    (2000年安徽省中考题)．

19．阅读下面材料，并解答下列问题：

    在形如a^b=N的式于中，我们已经研究过两种情况：

    ①已知a和b，求N，这是乘方运算，②已知b和N，求a，这是开方运算．

    现在我们研究第三种情况；已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．

    定义：如果a^b=N (a>0，a≠1，N>0)，则b叫做以a为底的N的对数，记作b=log_aN．

  例如：因为2³=8，所以log₂8=3；因为2^-3= ，所以log₂ =－3．

  (1)根据定义计算:

  ①log₃ 81=    ；②log₃3=     ；③log₃l=      ；④如果log_x 16=4，那么x=     ．

  (2)设a^x=M，a^y＝N，则log_aM=x；log_aN＝y(a>0，a≠1，N>0，M，N均为正数)．

  用log_AM，log_AN的代数式分别表示log_aMN及log_a ，并说明理由．

    (2002年泰州市中考题)

20．设 ，a、b、c、d都是有理数，x是无理数．求证：

    (1)当bc=ad时，y是有理数；

(2)当bc≠ad时，y是无理数．

  设△ABC的三边分别是a、b、c，且 ，试求AABC的形状．