八年级数学竞赛讲座 第七讲 二次根式的运算

第七讲   二次根式的运算

    式子  ( ≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础．

    (1)  ( ≥0)；

    (2)  ( )；

    (3)  ( )；

    (4) ( 0)．

    同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．

二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等．

例题求解

【例1】 已知 ，则 =        ．

    (2000年重庆市竞赛题)

    思路点拨  因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．

   注： 二次根式有如下重要性质：

  (1) ，说明了 与 、 一样都是非负数；

  (2)  ( 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；

  (3) ，揭示了与绝对值的内在一致性．

著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．

【例2】 化简 ，所得的结果为（   ）

    A．  B．  C． D．

    (2004年武汉市选拔赛试题)

    思路点拔  待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．

    注 特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律．

 

 

【例3】计算：

  （1） ；

  （2） ；

  （3） ；

．

   思路点拨  若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．

【例4】 (1)化简 ；  (北京市竞赛题)

(2)计算   (“希望杯”邀请赛试题)

(3) 计算 ． (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)

    思路点拨  （1）把4+2 万与4—2 分别化成一个平方数化简，此外，由于4+2 与4—2 是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；(3)通过配方，可以简化一重根号，解题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．

   【例5】 已知 ，求 的值．

    (山东省竞赛题)

思路点拨  已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．

学历训练

1．如果 ，那么 =      ．

    (2002年四川省竞赛题)

2．已知 ，那么 的值为      ． (2002年成都市中考题)

3．计算 =      ．(2001年天津市选拔赛试题)

4．若 ab≠0，则等式 飞成立的条件是      ．(2002年淄博市中考题)

5．如果式子  化简的结果为 ，则x的取值范围是(    )

    A．x≤1    B．x≥2    C．1≤x≤2   D．x >0  (2003年徐州市中考题)

6．如果式子  根号外的因式移入根号内，化简的结果为（     ）

  A．        B．       C．       D．

7．已知 ，则 的值为(    )

A．       B．     C．       D．

8．已知 ，那么 的值等于（    ）

A．    B．     C．       D．3

9．计算：

  (1) ；

（2） ； (2001年北京市数学竞赛题)

（3） ；

（4）

    (“希望杯”邀请赛试题)

  10．(1)已知 与 的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值；

  (2)设 ， ，n为自然数，如果 成立，求n．

11．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响． 

（1）问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由；

(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?

(供选用数据： ， )   (2003年贵阳市中考题)

 

12．已知 ， ，那么 =       ．(2001年T1杯全国初中数学联赛题)

13．若有理数x、y、z满足 ，则 =      ．

(2001年北京市竞赛题)

14．设 ，其中a为正整数，b在0，1之间，则 =      ．

15．正数m、n满足 ，则 =      ．

(2002年北京市竞赛题)

16．化简 等于(    )

    A．5—4    B．4 一1    C． 5   D．－1  (2002年全国初中数学联赛题)

17．若 ，则 等于(    )

    A    B．   C．1    D．－1

  (2004年武汉市选拔赛试题)

18．若 都是有理数，那么 和 面(     )

    A．都是有理数  B．一个是有理数，另一个是无理数

    C．都是无理数  D．有理数还是无理数不能确定

    (第13届“希望杯”邀请赛试题)

19．下列三个命题：

    ①若α，β是互不相等的无理数，则αβ+α－β是无理数；

    ②若α，β是互不相等的无理数，则 是无理数；

③若α，β是互不相等的无理数，则 是无理数．

其中正确命题的个数是(    )

A． 0    B．1    C．2    D．3  (全国初中数学联赛试题)

20．计算：

（1） ；   （第12届“希望杯”竞赛题）

（2） ；    （山东省竞赛题）

（3） ；（四川省选拔赛题）

(4) ；

(5) ．  (新加坡中学生数学竞赛题)

21．(1)求证 ；

(2)计算 ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）

22．(1)定义 ，求 的值；

(2)设x、y都是正整数，且使 ，求y的最大值．

    (上海市竞赛题 )

23．试将实数 改写成三个正整数的算术根之和．

    (2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)

24．求比 大的最小整数．  (西安交通大学少年班入学试题)