七年级数学竞赛讲座 第十八讲 乘法公式

第十八讲  乘法公式

 

    乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：

    1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式；

    2．根据待求式的特点，模仿套用公式；

    3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；

4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．

例题

   【例1】  (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是     ．(江苏省竞赛题)

  (2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)²+(1998一a)²=     ．

    (重庆市竞赛题)

    思路点拨  (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．

   注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．

    从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法．

    乘法公式常用的变形有：

    (1) ， ．

    (2) ；

    (3) ；

   （4） ，

【例2】 若x是不为0的有理数，已知 ， ，则M与N的大小是（    ）

A．M>N     B． M<N       C． M=N        D．无法确定

思路点拨  运用乘法公式，在化简M、N的基础上，作差比较它们的大小．

【例3】  计算：

    (1)6(7十1)(7²十1)(7⁴十1)(7⁸十1)+1；

(天津市竞赛题)

  (2)1.345×0.345×2.69—1.345²一1.345×0.345²．(江苏省赛试题)

    思路点拨  若按部就班计算，显然较繁．能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征，对于(2)，由于数字之间有联系，可用字母表示数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特征．

【例4】  (1)已知x、y满足x²十y²十 ＝2x十y，求代数式 的值．

    (“希望杯”邀请赛试题)

(2)整数x，y满足不等式 ，求x+y的值．

     (第14届“希望杯”邀请赛试题)

    (3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b，乙商场：两次提价的百分率都是 (a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则哪个商场提价最多?说明理由．

    (河北省竞赛题)

    思路点拔  对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x、y的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示，作差比较它们的大小．

注：  有些问题常常不能直接使用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，才能使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等．

   完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论：

   (1) ；

    揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题．

    (2)

应用于代数式的最值问题．

    代数等式的证明有以下两种基本方法：

(1)    由繁到简，从一边推向另一边；  (2)相向而行，寻找代换的等量．

 

 

【例5】  已知a、b、c均为正整数，且满足 ，又a为质数．

  证明：(1)b与c两数必为一奇一偶；

  (2)2(a+b+1)是完全平方数．

思路点拨  从 的变形入手； ，运用质数、奇偶数性质证明．

 

学力训练

1．观察下列各式：

    (x一1)(x+1)＝x²一l；

    (x一1)(x²+x+1)=x³一1；

    (x一1)(x³十x²+x+1)=x⁴一1．

  根据前面的规律可得

(x一1)(x ⁿ+x ^n-1+…+x+1)=       ．

    (武汉市中考题)

2．已知 ，则 =          ．

    (杭州市中考题)

3．计算：

  (1)1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655：    ；

  (2)1949²一1950²+1951²一1952²+…+1997²一1998²+1999² =      ；

  (3)           ．

4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式            ． (大原市中考题)

5．已知 ，则 =      ．

    (菏泽市中考题)

6．已知 ，则代数式 的值为(    )．

  A．一15    B．一2    C．一6    D．6

    (扬州市中考题)

7．乘积 等于(     )．

A．     B．   C．     D．

    (重庆市竞赛题)

8．若 ，则 的值是(    )．

  A．4    B．2002²   C． 2²⁰⁰²    D．4²⁰⁰²

9．若 ，则 的个位数字是(    )．

    A．1      B．3    C． 5    D．7

10．如图①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的 小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是(    )．

A．       B．

C．      D．  

    (陕西省中考题)

11．(1)设x+2z＝3z，试判断x²一9y²+4z²+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由．

  (2)已知x²一2x=2，将下式先化简，再求值：(x—1)²+(x+3)(x一3)+(x一3)(x一1)．

    (上海市中考题)

12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．

13．观察：

         

         

……

  (1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；

  (2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示)．

    (黄冈市竞赛题)

14．你能很快算出1995²吗?

    为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n为自然数)，即求(10n+5)²的值，试分析 n=1，n=2，n＝3……这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．

(1)通过计算，探索规律．

  15²225可写成100×1×(1+1)+25；25²=625可写成100×2×(2+1)+25；

35²=1225可写成100× 3×(3+1)+25；45²＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……75²＝5625可写成        ；85²＝7225可写成       ．

(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)²=           ．

(3)根据上面的归纳猜想，请算出1995²＝        ．

    (福建省三明市中者题)

15．已知 ，则 =        ．

    (天津市选拔赛试题)

16．(1)若x+y＝10，x³+y³=100，则x²+y²＝        ．

  (2)若a-b=3，则a³-b³-9ab＝         ．

17．1，2，3，……，98共98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是    ．

 (全国初中数学联赛试题)

18．已知a-b=4，ab+c²+4=0，则a+b=(    )．

    A．4    B．0    C．2    D．  一2

19．方程x²-y²=1991，共有(    )组整数解．

    A．6    B．7    C．8    D．9

20．已知a、b满足等式 ，则x、y的大小关系是(    )．

  A．x≤y    B．x≥y   C．x<y    D．x>y

    (大原市竞赛题)

21．已知a=1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002，则多项式a²+b²+c²一ab—bc-ac的值为(    )．

  A．0    B．1    C．2    D．3

    (全国初中数学竞赛题)

22．设a+b=1，a²+b²=2，求a⁷+b⁷的值．

    (西安市竞赛题)

23．已知a满足等式a²-a-1=0，求代数式 的值．

    (河北省竞赛题)

24．若 ，且 ，求证： ．

    (北京市竞赛题)

25．有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl，y₁顺次表示第一号选手胜与负的场数；用x₂，y₂顺次表示第二号选手胜与负的场数；……；用x₁₀、y₁₀顺次表示十号选手胜与负的场数．

  求证： ．

26．（1）请观察：  

     写出表示一般规律的等式，并加以证明．

  (2)26＝5²+1²，53=7²+2²，26×53=1378，1378=37²+3²．

  任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?

    注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过分析，可发现其中的奥秘．

    瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表示为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个平方数之和．即

(a²+b²+c²十d²)(e²+f²+g²+h²)=A²+B²+C²+D²．这就是著名的欧拉恒等式．

 

                                         参考答案