翻开数学发现的历史，可以看到许多数学发现都来自数学家的灵感。例如笛卡儿在1619年11月10日晚，他带着长时间思索而不得其解的问题（如何把代数与几何结合起来的问题）入睡了，一夜连续作了几个梦，梦中找到了他所要找寻的答案，对此，笛卡儿后来回忆道，受梦（灵感）的启示，第二天，我开始懂得这惊人发现的基本原理.这个基本原理就是坐标几何的思想.1880年，法国著名数学家庞加勒为寻找富克斯函数的变换方法，进行了长期的紧张思索工作，但一直毫无头绪。一天，他打算暂时把工作停下来到乡下旅行，以便放松一下自己的头脑。然而，就在他登上马车的一瞬间，一个新颖的思想闯入了他的脑海，如他所言：我的脚刚踏上刹车板，突然想到一种设想，……我用来定义富克斯函数的变换方法同非欧几何的变换方法是完全一样的，“数学王子”高斯在一次谈话中叙述，他求证数年而不得解决的一个问题：终于在两天以前我成功了，……像闪电一样，谜一下解开了，我自己也说不清楚是什么导线把我原先的知识和使我成功的东西连接了起来、英国著名数学家哈密顿也精彩地叙述他发现四元数的经过时说：明天是W元数的第十五个生日，1843年10月16日，当我和妻子步行去都柏林途中来到勃洛翰桥的时候，它们就来到了人世间，或者说出生了，发育成熟了，这就是说，此时此地我感到思想的电路接通了，而从中落下的火花就是I，J，K之间的基本方程，恰恰就是我以后使用它们的那个样子。我当场抽出笔记本，它还在，就将这些做了记录，同一时刻，我感到也许值得花上未来的至少10年（也许15年）的劳动，但当时还完全可以说，这是因我感到一个问题就在耶一刻已经解决了，智力该缓口气了，它已经纠缠住我上少15年了，法国著名数学家阿达玛也曾回忆说：有一次，在一阵突发的喧哗声中，我自己。立即毫不费力地发现了问题的解答。……它根木不在我原先寻找这个解答的地万，像这种由于长期探索，百思不得其解，突然灵犀一点，茅塞侧开的灵感导致数学的发现是很多的，这种灵感的进发而导致发明、发现的成功，又何止出现于数学家身身上，古今中外的诗人、文学家、艺术家、科学家、发明家、军事家、社会活动家们，都有许多成功地运用显意识调动潜意识而获得灵感的经验，总结、归纳他们的一些经验作法，叮作为我们在数学学习和数学研究中激发灵感的借鉴。人们总结有如下一些激发灵感的方法
1.追捕热线法
“热线”是由于潜意识孕育成熟了的，并可以和潜意识相沟通的主创课题和思路，大脑中一旦“热线”闪现，就一定紧紧追捕，迅速将思维活动和心理活动同时推向高潮，务必求得一定的结果，古希腊的大科学家阿基米德，当罗马军队侵入叙拉古并闯入他的屋中时，75岁高龄的阿基米德，正蹲着研究画在地上的几种图形，继续追捕着他顿悟的数学证明，直到罗马士兵的宝剑刺到了鼻尖，他还坦然不畏地说：“等一下杀我的头，再给我一会儿功夫，让我把这条几何定理证完，不能给后人留下一条没有证完的定理啊……。”残暴的罗马士兵不容他说完，便举剑向他砍去，阿基米德大喊一声：“我还没做完……”便倒在了血泊之中，他至死也不肯断掉头脑中的“热线”。一旦产生“热线”，有了新思想，就要立刻紧紧抓住，否则稍纵即逝，这正如苏轼所言：“作诗火急追亡逋，情景一失永难摹。”
2.暗示右脑法
按斯佩里的脑科学新成果，人的右脑主管着许多高级功能。比如音乐、图画、图形等感觉能力，几何学和空间性能力，以及综合化、整体化功能，都优越于左脑。因此，右脑主管着人的潜思维——孕育着灵感的潜意识，近十多年来，世界上许多心理学家、教育学家都相继把研究目光转向重视发挥潜意识的作用，保加利亚心理学家洛扎诺夫通过改革教学法的“实验，得到用“暗示法”启示潜意识，调动大脑两个球不同功能的积极性，收到良好的效果。3.寻求诱因法
灵感的迸发几乎都必须通过某一信息或偶然事件的刺激、诱发。数学及其他科学的发现中的大量事实表明，当思维活动达到高潮，问题仍百思不得其解时，诱发因素就尤为宝贵，它直接关系到研究的成功或失败。这种诱发因素的获得办法有多种，如自由的想象，科学的幻想，发散式的联想，大胆的怀疑，多问的反思等等。
4.暂搁问题法
如果思考的问题总是悬而难决，那就把它暂搁下来，转换思维的方向和环境，或去学习和研究别的问题，过一段时间再回到这个问题上来，或不自觉地使你回到原题上来，有时就会突然悟出解决的办法来，“文武之道，一张一驰”。长期紧张的用脑思索之后，辅之以体育活动、文艺活动或散步、赏花、谈心、下棋、看戏、沐浴、洗衣等等，有意识地使思维离开原题，让大脑皮层的兴奋与抑制关系得到调剂，才能有效地发挥潜思维的作用，促使灵感的顿发。
5.西托梦境法
美国堪萨斯州曼灵格基金会“西托”状态研究中心的格林博士认为，一个人身心进入似睡似醒状态时，脑电图显示出一系列长长的、频率为4—8周的电波，科学家称这种状态为“西托”，这种电波称为“西托波”。而在西托状态中作梦常常会迸发出创造性灵感，这种“西托”式的梦境，只有在思考的问题焦点明朗，思索紧张，以至达到吃不好、睡不着的程度才易于出现。因此，并非一切“作梦”都能导发灵感，我们应当创造条件，为有利的“作梦”提供机会。
6.养气虚静法
以“养气”使身心进入“虚静”（排除内心一切杂念，使精神净化），在“虚静”境界里，求得灵感的到来，这是中国古代提出的诱发灵感发生的成功方法。由于“养气”是要“清和其心，调畅其气”，使其心情舒畅，思路清晰，虚心静气，实践证明：采取练气功方式可达到“养气”的目的。
7.跟踪记录法
灵感像个精灵，来去匆匆，稍纵即逝，必须跟踪记录，随身携带笔和小本子，只要灵感火花一现，就即刻把它捕获记下。
上述方法，如用之于学习数学之中，我们的学习就不只局限于再现式的学习，它将引导你去取得创造性学习的成功；如用之于研究数学问题中，将把你的思考引向新的境界，以获取某些新的创见，尽管灵感的生理机制和心理机制目前尚不清楚，但它确实存在，亦可捕捉，我们要学会捕捉它，从捕捉它的过程中，逐步掌握这种创造性的学习和思考的方法，逐步培养和提高自己的灵感思维能力。
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