幻灰龙
（零）
科学上最重要的是科学的方法，而不是科学的结论
正是因为科技的这个特点，因此，科技进步都是一步一个脚印做出来的，在科研中，方法远比结论重要得多
不是。大学数学，通常来说会教微积分，线性代数；数学系的话对应的是数学分析和高等代数。这两个课程，最核心的其实还是对基本概念的理解，以及对重要方法的掌握。
（一）
2015/01/30
微积分课程首次让你需要理解极限的概念，这在高中是没有这种东西的，这就是一次脑洞大开的机会；其次，微积分符号的引入，让你用符号简化复杂的极限表述，还记得加减乘除么？还记得三角符号么？每一次运算符号的引入，都是在新的抽象层上做新的“四则运算”，然而只要你需要，你随时可以把它降低维度，展开成更低更具体的表示，积分是什么？是求面积，是求和，的极限；接着，数系的扩张，从小到大我们都在算数:整数，自然数，分数，小数，然后遇到了无限不循环小数—派，有理数，无理数，实数，复数，大学数学会介绍为什么自然数和有理数一样多，为什么无理数才是实数轴的霸主，为什么实数不能用自然数去一个一个的数，并非所有的无穷大都一样大;然后你会遇到处处连续处处不可导函数这样的事情，于是分析就被柯西统治了;欧拉为了让我们脑洞大开，随便凑了好多无穷级数，泰勒为了偷懒就总是把可微函数线性展开……
线性代数，就是为了解方程组，引入了向量和矩阵。就像前面说的，依然是从四则运算开始，不过你会发现矩阵乘法不再可交换了，左乘右乘代表不同变换了。向量空间呢，对了，数学的空间和时间空间的空间是啥关系呢？脑洞大开的时候，理解向量空间的基，向量空间中的向量都是基的线性组合（表出），然后接触更多各种空间，什么酉空间，柚子？？
其实我想推荐一般拓扑学，可惜非数学系居然不上这么能让人脑洞大开的学科……
夜深，睡觉。
（二）
2015/03/07
同事买了一套《微积分和数学分析引论》作为他家新书架的入品书籍，便于哪天他儿子突然对数学好奇后有一套好的书可以看。他说要把家里的旧的他自己以前用的同济版的那些书都清理掉，然后听说这套“R.柯兰 F.约翰”合著的书不错，就买了，让我先看一遍，看看如何。
第一章过了一遍，这一章基本上就是为进入微积分做准备，一开始就从实数连续统开始讨论，不过这本书比通常的教科书好的一点是并没有死板地采用引理、推理、定理、证明的模式一路走到黑，枯燥死你。在阐释概念上的陈述更易于接受。整章从头到尾都穿插着：从有理数到实数的扩张。
首先，第一个重要的概念：区间套。也贯穿始终。但作者一开始就限制在有理数上使用区间套：任何一个有理数都可以用一个有理数区间套定义。
然后，第二个重要的概念：极限。作者一步步从数的领域、数列的极限、函数的连续性、函数的一致连续性上反复加深对极限概念的理解。结合区间套和极限，最后引出任何一个实数都可以由一个区间套定义。完成了从有理数到实数的扩张。
其次，第三个重要的概念：连续。在这本书里的陈述是比较更容易被接受的，相对而言比较自然地使用了ε-δ方法，同时反复出现的“几乎处处”这个字眼也在上下文里得到比较令人满意的说明。
最后在解释函数的概念之后，全面讨论了：有理函数、代数函数、三角函数、指数函数、对数函数、复合函数、反函数这些初等函数，其实可以看到函数的形式也和数系一样是一个为了满足运算合法性（封闭）而不断扩张的过程。
在补篇里则把通常的数学分析课程里关于实数连续统，关于函数连续性，关于上下界的定理做了一次最小化的介绍（有趣的是，其中也介绍了有理数可数的性质，以及如何数，与之相关是关于实数不可数的对角线反证法）。篇末则是一堆练习题，在大学里的学生还是应该系统的做一遍，俺当年做过了就不再继续了。
（三）
2015/03/10
P134"积分和微分是微积分学中两种基本的极限过程";“微分和积分这两种过程是彼此互逆地联系着的”；P135“最后，直到19世纪，在通过严谨地表述极限概念和分析了实数的连续统后，才使微积分的基本概念得到澄清”。
如果函数是可积的，则其积分是和的极限。积分基本法则：可加性、边界估计、积分中值定理、广义积分中值定理。这里可以看到这些基本法则的推导都是把积分还原到极限形式去证明，然后利用极限和求和的基本性质在低一阶的抽象层上做推导，最后再提升回更上层的积分抽象层；
这里就体现了数学研究里的一个基本规律：将高层抽象降阶到低层抽象表示，然后利用低层抽象的性质证明其中关系，最后升阶到高层抽象，从而完成高层抽象的一些基本法则，一旦通过这种方式完成几条基本的高层抽象法则的证明，则可以在这几条法则的基础上推导高层抽象的其他众多引理、推理、定理等。
另外一方面，和软件工程一样，存在抽象泄漏，所以你总是可能在某些时候再次的将高层抽象降阶导低层抽象去做点东西。最后，积分中值定理和被积函数的算数平均的极限联系在一起，广义积分中值定理则和被积函数的加权平均的极限联系在一起。你看到抽象层了吗？最后从定积分引出不定积分函数，这很正常，数学里每一次抽象层的提升，都会在新抽象层上定义函数来研究。
如果函数是可微的，则其微分是差商的极限。微分基本法则：加法分配律、线性律、微分中值定理；微分和函数的关系：可微函数必连续、可微函数的李谱希茨连续性。当然，最开始引入微分一般都是从导数的几何意义开始的，有些高中课程也会介绍这个。微分作为积分的逆运算，和积分是同一个抽象层的概念，其相关基本法则的证明也都会降阶到差商的极限去证明。
微积分基本定理，严格界定微分积分是互逆运算。而补篇里则在求和的极限这个抽象层上严谨的证明了连续函数的定积分的存在性。这种在低阶抽象层证明高阶抽象层性质的活动在数学工作里是基本的，也是数学系学生区别于工科学生学习数学（一般只停留在掌握定理定律解题的层面，物理系的则一般要求和数学系无差别）的地方。
不过虽然这章很多地方叙述说牛顿和莱布尼兹发明微积分的时候把无穷小量直接当作某种神秘的数去对待在数学上是不严谨和迷糊的，但历史是轮回的，有趣的是20世纪的时候，有人就是把无穷小量和无穷大量当作实在的数，在扩张了的实数连续统--超实数连续统里反而极大的简化了数学分析的系统推导。
（四）
2015/03/12
今天是植树节。JHJNR5。
“P227:虽然积分问题通常比微分问题更为重要，但是微分问题在形式上却要比积分问题容易一些。因此，自然的做法是：首先掌握微分可能遇到的各种类型的函数的微分方法，然后根据微积分基本定理，利用微分法的结果来计算积分。”
作为互为逆运算的一对，这做法真是天衣无缝。数学里也常常这么做，利用可通过变换互相转化的两种形式，来解决在某种形式上比较困难的问题。这章说的是微分法和积分法，顾名思义便是对微分和积分的基本法则及其应用做进一步展开。
微分法基本法则：
乘以常数、乘数的导数、莱布尼兹法则、有理函数的微分法、三角函数的微分法反函数的导数、N次幂函数的反函数N次根、多值性的三角函数、反正弦和反余弦、反正切和反余切、指数函数、复合函数、链式法则、广义微分中值定理、双曲函数和反双曲函数；最大值和最小值问题。再次看到了，数学里经常在升级了一个抽象层之后，立刻在这个抽象层上重新做“四则运算”的讨论。一旦我们知道了微分，我们从初等函数、三角函数...到复合函数的所有已知运算形式在微分下的表现做了一番系统研究和运用。
积分法基本法则：
首先，从积分的反面微分入手：
“由初等函数反复经过有理运算，即加法、减法、乘法、除法以及通过做反函数的运算和复合函数的运算，可以构造出及其广泛的一类函数，这样构造的函数形成一类所谓'显式函数'或‘封闭表达式’，每一个显式函数都可微分，其导数仍是显式函数”。
然后抛出问题：
“因此，我们已经相当完善地掌握了微分运算的‘算术计数’，但是其逆过程即积分，一般来说是更为重要的，并且存在较大的困难。”
幸运的是，我们有：
“这种困难在一定程度上已经被微积分基本公式所克服。”
历史的弯路：
“在微积分发展的初期，许多数学家试图以明显的形式或封闭的形式来求出每一个给定显式函数的积分或原函数。过了一段时间之后，人们才明白这个问题在原则上是不能解决的，甚至相反，对于一些十分初等的被积函数，其积分都不能通过初等函数来表示。因此需要研究由初等函数通过积分过程产生的各种新型函数，从而就大大促进了数学分析的发展。”
这种人类直觉导致的历史的弯路在很多学科的研究中都经常见到，很多时候我们总是希望一个问题的结果应该具有我们想象的那种形式，然而很多时候，在经历一番弯弯曲曲的折腾之后，才发现原来不是这样的，问题是可以解决的，只不过形式不是我们想象的那样，比如尺规作图不能问题（三等分角...）。直觉有时美妙，却有时错的离谱。不过正是因为直觉的强烈，我们才有打破砂锅问到底的迭代，直到再一次地突破迷雾。
“但是，要求以明显的形式表示给定显式函数的积分，而不是无望的纠缠于繁琐的查阅积分表或者数值积分，便引出了一些简单的积分法，这些积分法可以灵活的变换给定积分的形式。”“即使不能用这些方法来积分，积分还会是存在的（至少对一切连续函数如此），而且实际上可以通过数值方法进行积分，并能达到任何所要求的精度”
所以说，数学分析里的积分法很多时候只是把不知道表示为不知道，只是为了脑洞大开所做的训练。真实工程里会遇到的积分，那都得靠数值积分去算。这章后面就基本是一路解题了。
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