2015年四川省高考数学（理）试卷真题答案及解析
一、选择题
1. 设集合，集合
，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，且
，故选A
2.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，故选C
3. 执行如图所示的程序框图，输出S的值是
A. B.
B. C. D.
【答案】D
【解析】进入循环，当时才能输出的值，则，故选D
4. 下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
A. 可知其满足题意
B. 可知其图像的对称中心为，最小正周期为
C. 可知其图像的对称中心为，最小正周期为
D. 可知其图像的对称中心为小正周期为
5. 过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于、两点，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题可知渐近线方程为，右焦点，
则直线与两条渐近线的交点分别为，，所以
6. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有
（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个
【答案】
【解析】分类讨论
① 当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数，其余位置没有限制，故有种。
② 当4在万位时，个位可以排0、2两个数，其余位置没有限制，固有种，
综上：共有120种。故选B。
7. 设四边形ABCD为平行四边形，.若点M,N满足，，则 （ ）
（A）20 （B）15 （C）9 （D）6
【答案】C
【解析】C.本题从解题方式方法上可有两种思路。
方法①：这个地方四边形ABCD为平行四边形，可赋予此四边形为矩形，进而以A为坐标原点建立坐标系。由进而
，，。方法②：这个地方可以以，为基底向量，利用三角形法则将，分别用基底向量表示可得，则。
综合两种方法，显然方法①更具备高考解题的准确性和高效性。
8. 设都是不等于的正数，则“”是“”的
（A）充要条件 （B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】条件等价于。当时，。所以，，即。所以，“”是“”的充分条件。但也满足，而不满足。所以，“”是“”的不必要条件。故，选。
9. 如果函数在区间单调递减，则的最大值为
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
【答案】
【错误解析】由单调递减得：，故在上恒成立。而是一次函数，在上的图像是一条线段。故只须在两个端点处即可。即
，
由得：。所以，. 选C。
【错误原因】当且仅当时取到最大值，而当，不满足条件。
【正确解析】同前面一样满足条件。由条件得：。于是，。当且仅当时取到最大值。经验证，满足条件。故选。
10.设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点.若这样的直线恰有4条，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】当直线与轴垂直的时候，满足条件的直线有且只有条。
当直线与轴不垂直的时候，由对称性不妨设切点，则切线的斜率为：。另一方面，由于为中点，故由点差法得：。故，。
由于在抛物线内，所以满足。代入并利用化简得到。故。
当时，由知满足条件且在轴上方的切点只有个。从而总的切线有条。故选。
二、填空题
11.在的展开式中，含的项的系数是________（用数字填写答案）
〖答案〗
〖解析〗由题意知的系数为：
12.的值是________
〖答案〗
〖解析〗
13.某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，k，b为常数）。若该食品在的保鲜时间是192小时，在23的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是________小时。
〖答案〗24
〖解析〗
故当时，
14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC中点，设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为________
〖答案〗
〖解析〗
AB为x轴，AD为y轴，AQ为z轴建立坐标系，设正方形边长为
令
，即
15.已知函数。对于不相等的实数，，设，。现有如下命题：
(1)对于任意不相等的实数，，都有；
(2)对于任意的及任意不相等的实数，，都有；
(3)对于任意的，存在不相等的实数，，使得;
(4)对于任意的，存在不相等的实数，，使得.
其中的真命题有_________________(写出所有真命题的序号）。
〖答案〗(1) (4)
〖解析〗
(1)设>,函数单调递增，所有>,->0, 则=>0,所以正确；
(2)设>,则->0,则
，可令=1，=2，
a=—4，则n=—1<0，所以错误；
(3)因为，由（2）得：，分母乘到右边，右边即为，所以原等式即为=，
即为=，令,
则原题意转化为对于任意的，函数存在不相等的实数，使得函数值相等，，则，则，
令，且，可得为极小值。若，则，即，单调递增，不满足题意，所以错误。
(4)由(3) 得=，则，设，有，使其函数值相等，则不恒为单调。
，，恒成立，单调递增且，。所以先减后增，满足题意，所以正确。
三、简答题
16.（本小题12分）设数列的前项和，且成等差数列。
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和，求得使成立的的最小值。
解：（1）当时有，
则
（）
则是以为首项，2为公比的等比数列。
又由题意得
则
（2）由题意得
由等比数列求和公式得
则
又当时，
成立时，的最小值的。
点评：此题放在简答题的第一题，考察前项和与通项的关系和等比数列的求和公式，难度较易，考察常规。可以说是知识点的直接运用。所以也提醒我们在复习时要紧抓课本，着重基础。
17.（本小题12分）某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队
（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.
（2）某场比赛前。从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.
【解析】（1）正难则反。求出A中学中无学生入选代表队的概率，再用1减去即能得到题目所求。
（2）由题意，知，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和期望。
【答案】
（1） 设事件表示“A中学至少有1名学生入选代表队”，
（2） 由题意，知,
;;
因此的分布列为：
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期望为：
【点评】本题主要考察了利用排列组合解决概率问题。第一问用了正难则反的思想。题意容易理解，入手点容易找到，并且计算也并无门槛，是一道常规题，容易得分。
18.（本小题满分分）
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为。
（I）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
（II）证明：直线平面
（III）求二面角余弦值
【答案】
（I）直接将平面图形折叠同时注意顶点的对应方式即可
如图
（II）
连接，取的中点，连接
因为、为线段、中点，所以且
又因为中点，所以
得到且
所以四边形为
得到
又因为平面
所以平面（得证）
（III）
连接，，过点作，垂足在上，过点作平面垂线，交于点，连接，则二面角
因为平面，且
所以
又，平面
所以平面
且，所以，所以三角形为
设正方体棱长为，则，
所以，
因为，三角形为，所以
所以，所以
所以
【点评】考点立体图形的展开与折叠线线平行、线面平行二面角的求解。此次立体几何题加入了让学生“画图”，不过图象为长方体，降低了认识图形上的难度。
19.（本题满分12分）
如图，为平面四边形的四个内角.
（1）证明：；
（2）若，，，，，求.
【解析】
（1）证明：
.
（2）解：
方法（一）
由可知，所以有，同理，，进一步上式化简可得：
（*）
连接，设，在和中分别利用余弦定理及可得
，即解得，从而得，.同理可得，，.代入（*）式可得
方法（二）
由方法（一）知，，又由（1）有，因为，所以，所以，同理可得：，，解得，.
所以.
【点评】本题主要考查三角函数中正切半角公式的推导，三角函数化简求值，余弦定理等知识。考查学生转化思想、计算能力.本题将三角函数化简求值与解三角形结合，并且两小问以正切函数出题，既考查考生基础知识，又体现题目的新颖！
20.（本小题13分）如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点。当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为。
（1） 球椭圆的方程；
（2） 在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】
解：（1）由题知椭圆过点。得
解得：。
所以，椭圆方程为：。
(2)假设存在满足题意的定点。
当直线平行于轴时，，两点关于轴对称，得在轴上。不妨设
当直线为轴时，。解得
下证对一般的直线，也满足题意。
由得轴为的角平分线。所以。
不妨设
，化简得①
又椭圆方程与直线方程联立得：
，
带入①得成立。
故假设成立。
综上存在点满足题意。
【点评】此题的第一问求椭圆方程，考察简单，较容易得分。第二问，出现了长度比值，由特殊到一般先找到了定点，再去验证，降低了试题的难度。并且通过题中线段比联想到了角平分线的性质，这点事学生不容易观察到的。也提醒我们解析几何是几何和代数的结合，能够有效快速地观察到几何关系可以大大地简化我们的计算，从而节约时间！
21.（本小题14分）已知函数，其中。
（1）设是的导函数，讨论的单调性；
（2）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解。
360docimg_501_
答案：
解：（1）360docimg_502_
360docimg_503_
360docimg_504_
令360docimg_505_，即360docimg_506_，讨论此不等式的解，可得：
① 当360docimg_507_时，即360docimg_508_时，不等式恒成立。即360docimg_509_恒成立，所以360docimg_510_恒单调递增。
② 当360docimg_511_时，360docimg_512_
所以360docimg_513_的解为360docimg_514_。所以360docimg_515_在360docimg_516_时单调递增。
综上：当360docimg_517_时，360docimg_518_在360docimg_519_上单调递增。
当360docimg_520_时，360docimg_521_在360docimg_522_上单调递增，在360docimg_523_上单调递减。
（2） 由（1）得360docimg_524_在360docimg_525_内单调递增。且
360docimg_526_，360docimg_527_。由零点存在性定理得存在唯一360docimg_528_使得
360docimg_529_①。
所以360docimg_530_在360docimg_531_上单调递减，360docimg_532_上单调递增。
所以满足360docimg_533_在区间360docimg_534_内有唯一解只需满足360docimg_535_即可。
360docimg_536_，将①带入化简得：
360docimg_537_
当360docimg_538_时，此时①变形为360docimg_539_，在360docimg_540_上有解。令360docimg_541_
所以360docimg_542_在360docimg_543_上单调递减。360docimg_544_不满足。
当360docimg_545_时，此时①变形为360docimg_546_在360docimg_547_上有解。
不妨设360docimg_548_
所以360docimg_549_在360docimg_550_上单调递增。360docimg_551_。所以360docimg_552_在360docimg_553_上有解。
所以结论得证。
【点评】此题延续2014年风格，不设置纯送分小问，但考生无需慌张。第一小问，目测阅卷时，考生只要能得到360docimg_554_及其导数的话，就会得到不低于两分，而接下来分类讨论则极为常规，稍加练习便能得到满分；第二小问的话思主题思路极为常规，可参考09全国卷、12全国卷、15绵阳二诊试题，但是在处理②时需要利用到主元转换（因式分解功底强大的则无需），后续操作则只需注意变量的取值范围即可，此题需要考生强大的计算和心理承受能力，能明确自身目的所在，不至于在多重带换后迷失目标而功亏一篑。
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