试题类型：A
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设复数z满足
=i，则|z|=
（A）1 （B）
（C）
（D）2
（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）设命题P：
n
N，
>
，则
P为
（A）
n
N,
>
（B）
n
N,
≤
（C）
n
N,
≤
（D）
n
N,
=
（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312
（5）已知M（x0，y0）是双曲线C：
上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若
＜0，则y0的取值范围是
（A）（-
，
） （B）（-
，
）
（C）（
，
） （D）（
，
）
（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
（7）设D为
ABC所在平面内一点
=3
，则
（A）
=
+
(B)
=
（C）
=
+
(D)
=
(8)函数f(x)=
的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为
(A)（
）,k
(b)（
）,k
(C)（
）,k
(D)（
）,k
（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
（10）
的展开式中，
y2的系数为
（A）10 （B）20 （C）30（D）60
（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20
，则r=
（A）1（B）2（C）4（D）8
12.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a
1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）
0，则a的取值范围是（ ）
A.[-
，1） B. [-
，
） C. [
，
） D. [
，1）
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13）若函数f(x)=xln（x+
）为偶函数，则a=
（14）一个圆经过椭圆
的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。
（15）若x,y满足约束条件
则
的最大值为 .
（16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，
（Ⅰ）求{an}的通项公式：
（Ⅱ）设
,求数列
}的前n项和
（18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。
（1）证明：平面AEC⊥平面AFC
（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值
（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
（x1-
）2
（w1-
）2
（x1-
）(y-
)
（w1-
）(y-
)
46.6
56.3
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中w1=
1, ，
=
（1） 根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d
哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （un vn）,其回归线v=
u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
（20）（本小题满分12分）
在直角坐标系xoy中，曲线C：y=
与直线y=ks+a(a>0)交与M,N两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当K变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。
（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=
(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线
的切线；
（Ⅱ）用
表示m,n中的最小值，设函数
，讨论h（x）零点的个数
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是☉O的直径，AC是☉C的Q切线，BC交☉O于E
（I） 若D为AC的中点，证明：DE是
O的切线；
（II） 若OA=
CE，求∠ACB的大小.
（23-）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中。直线
:
=
2，圆
：
,以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（I） 求
，
的极坐标方程；
（II） 若直线
的极坐标方程为
，设
与
的交点为
,
,求
的面积
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数
=|x+1|-2|x-a|，a>0.
（Ⅰ）当a=1时，求不等式
f(x)>1的解集；
（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围
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