2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合

，则

 （   ）

  A.

     B.

    C.

       D.

【答案】C.

考点：集合的运算.

2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（  ）

   A.

     B.

    C.

       D.

【答案】C.

【解析】

试题分析：由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合∴体积

，

故选C.

3.已知

是等差数列，公差

不为零，前

项和是

，若

成等

比数列，则（  ）

A.

       B.

   

C.

       D.

【答案】B.

考点：1.等差数列的通项公式及其前

项和；2.等比数列的概念

4.命题“

 且

的否定形式是（  ）

A.

且

      B.

或

C.

且

    D.

或

   

【答案】D.

【解析】

试题分析：根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.

考点：命题的否定

5.如图，设抛物线

的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点

，其中点

在抛物线上，点

在

轴上，则

与

的面积之比是（  ）

 

A.

       B.

      C.

     D.

  

【答案】A.

【解析】

试题分析：

，故选A.

考点：抛物线的标准方程及其性质

6.设

是有限集，定义

，其中

表示有限集A中的元素个数，

 命题①：对任意有限集

，“

”是“

”的充分必要条件；

命题②：对任意有限集

，

，

A. 命题①和命题②都成立       B. 命题①和命题②都不成立      

C. 命题①成立，命题②不成立   D. 命题①不成立，命题②成立 

【答案】A.

考点：集合的性质

7.存在函数

满足，对任意

都有（   ）

A.

       B.

      

C.

        D.

  

【答案】D.

 

考点：函数的概念

8.如图，已知

，

是

的中点，沿直线

将

折成

，所成二面角

的平面角为

，则（  ）

A.

       B.

      C.

        D.

  

【答案】B.

【解析】

试题分析：根据折叠过程可知

与

的大小关系是不确定的，而根据二面角的定义易

得

，当且仅当

时，等号成立，故选B

考点：立体几何中的动态问题

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9.双曲线

的焦距是      ，渐近线方程是          ．

【答案】

，

.

【解析】

试题分析：由题意得：

，

，

，∴焦距为

，

渐近线方程为

.

考点：双曲线的标准方程及其性质

10.已知函数

，则

     ，

的最小值是      ．

【答案】

，

.

考点：分段函数

11. 函数

的最小正周期是      ，单调递减区间是        ．

【答案】

，

，

.

【解析】

试题分析：

，故最小正周期为

，单调递减区间为

，

.

考点：1.三角恒等变形；2.三角函数的性质

12.若

，则

     ．

【答案】

.

【解析】

试题分析：∵

，∴

，∴

.

考点：对数的计算

13.如图，三棱锥

中，

，点

分别是

的中点，则异面直线

所成的角的余弦值是         ．

【答案】

.

考点：异面直线的夹角.

14.若实数

满足

，则

的最小值是        ．

【答案】

.

【解析】

表示圆

及其内部，易得直线

与圆相离，故

，当

时，

，

如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数

，则可知当

，

时，

，当

时，

，可行域为大的弓形

内部，目标函数

，同理可知当

，

时，

，综上所述，

.

考点：1.线性规划的运用；2.分类讨论的数学思想；3.直线与圆的位置关系

15.已知

是空间单位向量，

，若空间向量

满足

，且对于任意

，

，则

     ，

     ，

     ．

【答案】

，

，

.

考点：1.平面向量的模长；2.函数的最值

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本题满分14分）

在

ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=

，

=

.

（1）求tanC的值；

（2）若

ABC的面积为7，求b的值。

【答案】（1）

；（2）

.

 

考点：1.三角恒等变形；2.正弦定理.

17.（本题满分15分）

如图，在三棱柱

-

中，

BAC=

，AB=AC=2，

A=4，

在底面ABC的射影为BC的中点，D为

的中点.

（1）证明：

D

平面

；

（2）求二面角

-BD-

的平面角的余弦值.

【答案】（1）详见解析；（2）

.

试题分析：（1）根据条件首先证得

平面

，再证明

，即可得证；（2）

作

，且

，可证明

为二面角

的平面角，再由

余弦定理即可求得

，从而求解.

 

考点：1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解

18.（本题满分15分）

已知函数f（x）=

+ax+b（a，b

R）,记M（a，b）是|f（x）|在区间[-1,1]上的最大值。

（1）证明：当|a|

2时，M（a，b）

2;

（2）当a，b满足M（a，b）

2，求|a|+|b|的最大值.

【答案】（1）详见解析；（2）

.

试题分析：（1）分析题意可知

在

上单调，从而可知

，分类讨论

的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知

，再由

可得

，

，即可得证.

考点：1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想.

19.（本题满分15分）

已知椭圆

上两个不同的点A,B关于直线y=mx+

对称．

（1）求实数m的取值范围；

（2）求

AOB面积的最大值（O为坐标原点）．

 

【答案】（1）

或

；（2）

.

试题分析：（1）可设直线AB的方程为

，从而可知

有两个不同

的解，再由

中点也在直线上，即可得到关于

的不等式，从而求解；（2）令

，可

考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.点到直线距离公式；3.求函数的最值.

20.（本题满分15分）

已知数列

满足

=

且

=

-

（n

）

（1）证明：1

（n

）；

（2）设数列

的前n项和为

,证明

（n

）.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

考点：数列与不等式结合综合题.