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2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数 学(文史类)
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。满分l50
分。考试时间l20分钟。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
注意事项:
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。
1.设集合
,集合
,则
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】A
【解析】∵
,
,
,选A.
2.设向量
与向量
共线,则实数
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】B
【解析】由共线向量
,
的坐标运算可知
,
即
,选B.
3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是
(A)抽签法 (B)系统抽样法
(C)分层抽样法 (D)随机数法
【答案】C
【解析】因为是为了解各年级之间的学生视力是否存在显著差异,所以选择分层抽样法。
4.设
,
为正实数,则“
”是“
”的
(A)充要条件 (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由已知当
时,
∴,“
”是“
”的充分条件。反过来由
,可得
,∴“
”是“
”的必要条件,综上,“
”是“
”的充要条件,选A.
5.下列函数中,最小正周期为
的奇函数是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
A.
,可知其满足题意;
B.
,可知其最小正周期为
,偶函数;
C.
,最小正周期为
,非奇非偶函数;
D.
,可知其最小正周期为
,非奇非偶函数.选A
6.执行如图所示的程序框图,输出S的值是
(A)
(B)
(C)-
(D)
【答案】D
【解析】易得当k=1,2,3,4时执行的是否,当k=5时就执行是的步骤,
所以
,选D.
7.过双曲线
的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则
(A)
(B)
(C)6 (D)
【答案】D
【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为
,且右焦点
,则直线
与两条渐近线的交点分别为
,
,∴
,选D.
8. 某食品的保鲜时间
(单位:小时)与储藏温度
(单位:
)满足函数关系
(
为自然对数的底数,k,b为常数)。若该食品在
的保鲜时间是192小时,在23
的保鲜时间是48小时,则该食品在33
的保鲜时间是
(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)21小时
【答案】C
【解析】
,
,∴
,
∴当
时,
,∴
,选C.
9. 设实数
满足
,则
的最大值为
(A)
(B)
(C)12 (D)14
【答案】A
【解析】由第一个条件得:
。于是,
,
当且仅当
时取到最大值
。经验证,
在可行域内,选
.
10.设直线
与抛物线
相交于A,B两点,与圆
相切于点M,且M为线 段AB的中点.若这样的直线
恰有4条,则
的取值范围是
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D
【解析】
设
,
,
,则
两式相减,得:
,当直线
的斜率不存在时,显然符合条件的直线
有两条。当直线
的斜率存在时,可得:
,又∵
,∴
,∴
由于M在抛物线的内部,∴
,
∴
,∴
,
因此,
,选D.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目说只是的区域内作答。作图可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试卷、草稿纸上无效。
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
11. 设
是虚数单位,则复数
_________.
【答案】
【解析】由题意可知:
12.
的值是 ________.
【答案】
【解析】
13. .已知
,则
的值是________.
【答案】-1
【解析】由已知
得,
,
∴
14. 三棱柱
中,
,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是
,
,
的中点,则三棱锥
的体积是_______.
【答案】
【解析】采用等积法,
15.已知函数
,
(其中
)。对于不相等的实数
,
,设
,
,现有如下命题:
(1) 对于任意不相等的实数
,
,都有
;
(2) 对于任意
的及任意不相等的实数
,
,都有
;
(3) 对于任意的
,存在不相等的实数
,
,使得
;
(4) 对于任意的
,存在不相等的实数
,
,使得
。
其中的真命题有_________________(写出所有真命题的序号)。
【答案】(1)(4)
【解析】
(1)设
,
,∵函数
是增函数,∴
,
, 则
=
>0,所以正确;
(2)设
,则
,∴
不妨我们设
,则
,矛盾,所以(2)错。
(3)∵
,由(1)(2)可得:
,化简得到,
,也即
,令
,即对于任意的
函数
在定义域范围内存在有两个不相等的实数根
,
。则
,显然当
时,
恒成立,即
单调递增,最多与x轴有一个交点,不满足题意,所以错误。
(4)同理可得
,设
,即对于任意的
函数
在定义域范围内存在有两个不相等的实数根
,
,从而
不是恒为单调函数。
,
恒成立,∴
单调递增,又∵
时,
,
时,
。所以
为先减后增的函数,满足要求,所以正确。
三、简答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)
设数列
的前
项和
,且
,
,
成等差数列。
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)记数列
的前
项和
,求
。
【解答】:
(Ⅰ)当
时有,
则
,
(
) ,∴数列
是以
为首项,2为公比的等比数列。
又由题意得
,
,∴
,∴
(Ⅱ)由题意得
,∴
17.(本小题满分12分)
一个小客车有5个座位,其座位号为
,乘客
的座位号为
,他们按照座位号顺序先后上车,乘客
因身体原因没有坐自己号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位。如果自己的座位已有乘客就坐,就在这5个座位的剩余空位中选择座位.
(I)若乘客
坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法。下表给出其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)
乘客
座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1
(II)若乘客
坐到了2号座位,其,他乘客按规则就坐,求乘客
坐到5号座位的概率。
【解答】
(Ⅰ)当乘客
坐在3号位置上,此时
的位置没有被占,只能坐在2位置,
位置被占,可选剩下的任何,即可选1、4、5:①当
选1位置,
位置没被占,只能选4位置,
选剩下的,只有一种情况;②当
选4位置,
可选5位置也可选1位置,
选剩下的,有两种情况;③当
选5位置,
只可选4位置
选剩下的,有一种情况;
乘客
座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1
3
2
4
1
5
3
2
5
4
1
(Ⅱ)这个问情况比较复杂,需要列表解答,当
坐2位置时,
位置被占,可选剩下的
座位,下表列出了所有可能
乘客
座位号
2
1
3
4
5
2
3
4
5
1
2
3
4
1
5
2
3
1
4
5
2
3
5
4
1
2
4
3
1
5
2
4
3
5
1
2
5
3
4
1
综上,共有8种情况,
坐在5位置上的情况有4种,所求概率为
18.(本小题满分
分)
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。
(I)请将字母
标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);
(II)判断平面
与平面
的位置关系,并证明你的结论;
(III)证明:
平面
。
【解答】
(I)如答图1所示
答图1 答图2 答图3
(II)如答图2所示,连接
,易得四边形
和四边形
为
,所以
,
,又∵
平面
,且
平面
,∴
平面
,
平面
,又∵
平面
,且
,所以平面
平面
(III)如答图3所示,易得
,∴
平面
,
得∵
平面
,∴
,同理可得,
,又
,
∴
平面
。
19.(本小题满分12分)
已知
为
的内角,
是关于
的方程
的两实根.
(Ⅰ)求
的大小;
(Ⅱ)若
,求
的值.
【解答】
(Ⅰ)
是关于
的方程
的两个根可得:
,
,所以
,则
,由三角形内角和为
可知,
.
(Ⅱ)在
中,由正弦定理可得,
求得
,则
.又
,由三角形内角和为
及诱导公式可知
,解得
,将
代入
,解得
.
20.(本小题满分13分)
如图,椭圆
(
)的离心率是
,点
在短轴
上,且
。
(Ⅰ)球椭圆
的方程;
(Ⅱ)设
为坐标原点,过点
的动直线与椭圆交于
两点。是否存在常数
,使得
为定值?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由。
【解答】
(Ⅰ)由
知,
,解得
,
又∵由离心率是
得到
;
∴椭圆E的方程为:
。
(Ⅱ)当直线AB的斜率存在时,设AB的解析式为
,
,
联立:
,显然
,由韦达定理可知,
,
,
∴
,
这里,与
的取值无关,∴
,即
。
此时
,
当直线AB的斜率不存在时,AB就是CD,
那么
∴
综上,存在常数
,使得
为定值
。
21.已知函数
,其中
,设
是
的导函数.
(Ⅰ)讨论
的单调性;
(Ⅱ)证明:存在
,使得
恒成立,且
在区间(1,
)内有唯一解。
【解答】:
(Ⅰ)∵
,∴求导可得,
,即
∴
恒成立,∴
在其定义域上单调递增。
(Ⅱ)∵
,∴由(Ⅰ)可知
在(1,
)内单调递增。
又
时,
,
当
时,显然
。而
在(1,
)是单调递增的,因此在
(1,
)内必定存在唯一的
使得
……………..①。
∴当
时,
,当
时,
∴
在
上单调递减,在
上单调递增,∴
。
由已知条件
在区间
内有唯一解,∴必有
。
即
……………………. ②,
由①式得到
带入②式化简得:
,即
,
令
,
,
恒成立,∴
为减函数,
∵
,∴
在
内有零点,即
时,
有解,此时
为增函数,且
,
即
。∴存在
,使得
恒成立,且
在区间(1,
)内有唯一解。
By:KingsleeQMJY 杰少
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