五年级奥数：旋转的线段

旋转的线段

“旋转的线段”即一条线段绕一个固定点旋转的情况。我们想象平面上有一条会运动的线段，不同的运动方式它所扫过的图形当然是不同的。比如平行移动可以扫过一个矩形。

问题1 

如图1，线段AB的长度为1厘米，那么画出这条线段分别绕A点和B点按顺时针方向旋转90°所扫过的图形，并求出相应图形的面积。

解析

　

　　

　

问题2 

如图3，ABCD是一个长为4，宽为3，对角线长度为5的长方形。它绕C点按顺时针方向旋转90°，分别求出四条边扫过图形的面积。

解析

　　我们可以先画出旋转后的图形（如图4）。

　　首先容易发现DC边和BC边旋转后扫过的图形

　　因此，DC边扫过图形的面积为4π平方厘米，BC边扫过图形的面积

　

　　在整个AB边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见图6中阴影部分：

　下面我们来求这部分的面积。

　　观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：

　　（扇形ACA面积+三角形ABC面积）-（三角形ABC面积+扇形BCB面积）

　　=扇形ACA面积-扇形BCB面积

　　

　　=4π

　　下面再来研究AD边扫过的图形。

　　由于在整条线段上距离C点最远的点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形，如图7阴影部分所示：

　　用与前面同样的方法可以求出面积为：

　　

　　解决此类问题的关键是能够相对准确地画出图形。