管卫东思维体系（五）：正向和逆向

  
   前几天在单位有这么一件小事，我把一份写了一页多一行的简历交给手下，要她把它排版匀称点。二十分种过去了，我问她要，可是她还没有完成，说“排成一页实在排不下来”。我问她：“既然一页排不下来，那排成两页不就行了，只要把行距加大不就可以了吗。”，“哦，没想到，我以为只能排成一页呢”......

   事情过去几天了，今天在我写这个博客时又想到了这件小事。其实，我们在许多时候都会遇到上述类似的事件，而每次我们都会给自己一个借口，“没想到”，可是许多其他人就想到了，为什么？其实很简单，就是我们思考问题的思维方式！

  　 许多人已经习惯于从问题的起源上思考问题，从起点到终点，也就是所谓的正向思维。从小到大，许多问题也就是这样解决的。由于这样思考解决了许多问题，我们也就习惯于这么思考了。但是随着我们的长大，随着我们接触问题的增多，我们逐渐发现许多问题这么思考已经解决不了，可是在这个情况下，大多数人没有怀疑自己多年的惯性是否不对，或至少没有怀疑过多年的惯性是否是唯一对的，而冠以自己没有努力，没有做许多题，没有经历许多事情，而去努力做题，努力工作，又由于努力一定比不努力强，从而在他努力获得一些提高后，就会反向说服他自己只要努力就行了。

　　（其实真相是：这个世界上大多数事情的结果并不取决于我们一厢情愿的“努力”，而事情的结果，往往是所有参与者在信息不对称的情况下，按照对自己最有利的假设做决定之后的“平衡”。取自《博弈论》）所谓逆向思维，其实一点也不神秘，也就是不再追求非要从起点到终点，而是从终点反过来思考问题，或从对立面思考问题。
　　

　　数学中的正向逆向思维

      

　   1、正向逆向思维的定义　

 

　　课本上有这么一道例题：a>b>0，c<0，求证：b<a。　　

 

　　假设按照书本上的说法：因为a>b>0，两边都乘以ab, 得到bc>ac。

 

　　现在如果我是一个学生，我就要问了，干吗不等式 两边要乘以呀？我怎么就想不到两边要乘以呢？为了回答这个问题，我们先来了解一下“正向——逆向”的思维方式。

　　什么叫正向和逆向？所谓的正向是让我根据原文的条件再加我脑中的知识一步一步推出结果来，这是对正向的定义。逆向不是这么想，是反着从结果出发。

 

　　2、正向逆向思维的具体应用正向逆向思维的定义非常简单，但真要做起来，很多人不知道什么时候选择正向思维，什么时候选择逆向思维。什么时候该选择正向思维，什么时候该选择逆向思维呢？为了说明这个问题，我们先来看一道题目：

 

　　王力以100元每件的进价买了一堆衣服，他打算把这些衣服都卖出去。王力卖出衣服的价格是高于进价的，且卖衣服的价格越高，买衣服的人越少，当达到买衣服的人数为零时，这时卖衣服的价格称为最高价。下面给出了三个条件：

　　条件一：买衣服的人数和卖衣服的价格是成线性关系；　

　　条件二：旺季的最高价等于1.5倍淡季的最高价；

　　条件三：旺季140元每件可获得最大利润。

　　问：在淡季时，以多少钱每件的价钱卖出衣服可获得最大利润？
　　

　　这道题目，文字叙述长且条件也很多。这么多的条件，到底从何处下手来解答呢？这就引出了正向逆向思维的具体应用来。什么时候用正向呀，一般来说条件少或起点明确，我们就用正向做题。什么时候用逆向入手呢，一般是这样的，当题目条件太多使得我不太明确或一些证明题，且证明的是某个式子的时候我们从逆向入手。逆向思维在不等式中非常有用。

 

　　由于不等式中涉及大量的证明题，我们再回来看这道题目：a>b>0，c<0，求证：b<a。

 

　　这道题目很简单，但它的思维方式已经表达出了正向逆向的概念了。书上写的是不等式两边同时乘以，可是当我第一次做这道题时，我怎么知道等式两边要乘以？不等式的证明题，其最终求证的结果是正确的。因此我们可以从证明的结果入手。我要证明的是，而要想证明成立，则必须用到条件。在这里，我们要用到公式变形的原则：（1）简化的原则；（2）弥补条件与已知的差距。由于题目告诉我a>b>0，c<0，所以不等式两边都乘以ab，不等号的方向是不变的，因此可变形为bc>ac。根据简化的原则，相同的东西要想办法去掉，所以两边除以c。又因为c<0，所以可得到b<a，而这是已知，所以此道题做完了。

　　
　　这道题是很简单，但它已经将来高考的所有难题所涉及的原则全涉及完了，就是：（1）逆向思维的判断方式。（2）什么叫做公式变形的简化的理解。（3）如何弥补条件与已知的差距。

  
　　又例：从1，2，4，6，8，10中任取若干个数，若取出的是一个数，取的是几值就是几，若取出不只一个数，就把取出的数相加求和，如若取2，4，就2＋4＝6，值为6。问这样取有多少个不同的值？

   许多学生拿到题后，立刻想从总数中减去重复的，但发现重复的太多，不好计算，就没有思路了。这就是典型的从条件出发，从起点出发。但不是每个问题都适合这样思考，我们来看看若采取逆向思维的优势。
   
   我们知道，最小值是1，最大值是全取，1＋2＋4＋6＋8＋10＝31，而我们发现2，4，6，8，10是最小的正偶数，它们的组合可以把31之内的所有偶数都取到，而偶数加1就是奇数，所以所有31之内的奇数也可以取到，因此1到31之间所有整数都可以取到，所以答案是31！

   上述的例子我想大家一定可以看到正向和逆向的区别。
   
　　其实我们有许多事情都是这样的，本来不难的事情，被我们的思维的惯性的束缚，导致把事情变难了。举个简单例子，大家都知道在工作中老板是关心结果而不是关心过程，大家也都知道考试中的标准化考试是根据结果给分，而不是过程，但是在这个情况下，许多甚至大多数师生还都要求做题中追求过程的完美性，而不是以结果导向，说心里不踏实。这也是在中国常有的现象，许多运动员在比赛上发挥失常，许多考生在考场上发挥失常，许多人在做事时经常由于瞻前顾后导致把事情做砸，其实都是所谓担心万一...就...的心里作祟，导致不能打破自己多年的习惯，也就是思维体系的第一对没有突破，非要追求充分性，而这点也就限制了思维体系的第二对，逆向的应用。

   也许大家还在怀疑之中，会这么简单吗？

   当然了，要我们改变自己多年的惯性很难，不过我们只要想想，改变了之后将能做到以不变应万变，可以解决所有不同的问题，难道大家还没有动力改吗？

   上次的分13个球的问题，大家可以试着用逆向思维考虑一下，我们下次聊吧。

   祝大家周末愉快！