作家阿尔文·托夫勒（Alvin Toffler）在他的名作《未来的冲击》中这样解释了书名的含义：“我们每个人在极短的时间内因遭受剧烈的变化，而经受的毁灭性压力和巨大的迷茫。”
在 19 世纪，数学家、科学家和哲学家们就经历了这样的震撼。事实上，近一千年以来，认为数学提供了永恒不变的真理的信仰被打碎了。这一出人意料的思维动荡，是由一门全新的几何学分支引发的，这门学科在今天被称为非欧几何。如果你不是专业人士，可能都没有听说过非欧几何。但是在科学研究领域，这门全新数学分支的革命性重大意义被认为足以和达尔文开创的进化论相提并论了。
为了充分理解这一数学分支给人类世界观带来的巨大冲击和深刻影响，我们有必要先来简要回顾一下它的数学历史背景。
19 世纪之前，如果说有一门学科的知识一直被当作“真理”和“确定性”的完美典范的话，那它就是欧几里得几何学，也就是我们在中学里都学过的传统的经典几何学。
著名的荷兰籍犹太哲学家巴鲁赫·斯宾诺莎（Baruch Spinoza，1632—1677）就把他那试图将科学、宗教、伦理和推理统一起来的极为大胆的研究结论命名为“用几何方法证明的伦理学”（这也是其著作的名称）。
更有甚者，虽然柏拉图主义者提出的以数学形式存在的理想世界和物理现实之间有着明显区别，但大多数科学家仍然把欧几里得几何学中的对象当作从真实物理世界的对应物中提炼、抽象出来的。
即使是大卫·休谟（David Hume，1711—1776）这样最忠实的经验主义者——他坚持认为，科学的基础远没有人们所想象的那么肯定——也承认，欧几里得几何学就像直布罗陀海峡的岩石那么坚固。
尽管休谟和其他所有经验主义者一样，认为人类的全部知识来源于观察，但是，几何学及其反映的“真理”仍然拥有特权地位。
伟大的德国哲学家伊曼努尔·康德（Immanuel Kant，1724— 1804）并不完全赞同休谟的观点，但是，他同意休谟对欧几里得几何学的看法。他也认为，欧几里得几何是绝对确定的真理，并且，其正确性是无可置疑的。
根据康德的理论，如果我们意识到一个物体，那么这个物体必然在空间中存在，并且符合欧几里得几何学。
休谟和康德提出了两个观点，它们非常重要却又极为不同，而且都与欧几里得几何紧密相关。首先，二人都认为只有欧几里得几何才能精确描述物理空间。其次，他们都把欧几里得几何作为牢不可破、绝对精确、永远有效的推理结构。如果把这两个观点综合在一起的话，那就是欧几里得几何为数学家、科学家、哲学家们提供了关于宇宙确实存在、内容丰富、无可辩驳的最稳固的理论证据。直到 19 世纪之前，这种认识仍然被视为是理所当然的。然而，它们真的是正确的吗？
欧几里得几何是由古希腊亚历山大的数学家欧几里得在公元前 300 年左右提出的。在那本不朽的 13 卷本《几何原本》中，欧几里得以清晰的逻辑为基础，建立了几何学体系。他以十条被视为正确无疑的公理为起点，通过逻辑推理的方法，证明了大量以假设为基础的命题。
欧几里得几何学的前四条公理简洁、巧妙又优美。例如，第一公理是：“过两点有且只有一条直线。”第四公理是：“所有直角都是相等的。”而与此形成鲜明对比的是第五公理，通常被称为“平行公设”。它的表述相对而言比较复杂，一直以来，人们普遍认为这一公理缺乏不证自明的味道。
在《几何原本》中它是这么说的：“若一条直线与另外两条直线相交，在某一侧的内角和小于两个直角之和，那么这两条直线在各自不断延伸后，会在该侧相交。”图 6-1 用一幅示意图展示这条公理的内容。
虽然没有人怀疑第五公理的正确性，但与其他几条公理相比，它缺乏那种动人的简洁和优美。有迹象表明，甚至是欧几里得本人似乎都对这第五公理不太满意。第一个证据是，在《几何原本》中，欧几里得在证明前二十八条命题时就没利用这第五公理。
今天，我们引用最频繁的是与第五公理完全等价的另一个公理，它似乎是由希腊数学家普罗克洛斯在公元 5 世纪首次提出来的，我们通常称之为“普莱费尔公理”，这个名称来自苏格兰数学家约翰·普莱费尔（John Playfair，1748—1819）。
普莱费尔公理是这样表述的：“给定一条直线和不在该直线上的一个点，经过该点只能作一条与该直线平行的直线。”（图 6-2）。第五公理的这两种表述形式在本质上是完全相同的，这是因为普莱费尔公理（与其他公理一起）必然包含欧几里得的第五公理，而且后者也包含前者。
图 6-1
图 6-2
几个世纪以来，人们对欧几里得几何第五公理的质疑不绝于耳，不断有人试图从其他 9 条公理出发证明第五公理，甚至还有人尝试用一条更清晰、简洁的假设来代替它。
当然，这些努力都没有成功，而另一些几何学家试图回答一个令人困惑的猜想：“如果它是假的呢？”这些尝试开始激起人们心中的疑惑，甚至有人怀疑，欧几里得的公理到底真的是不证自明的，还只是基于经验的。
最终，令人震惊的结论在 19 世纪出现了：数学家发现，人们选择另一条不同于欧几里得第五公理的公理，就可以建立一门全新的几何学。而且，那些“非欧”几何学能像欧几里得几何学那样从原理上准确地描述物理空间。
让我们在这里暂停一下，先把“选择”这个词搞清楚。几千年来，欧几里得几何一直被视为独一无二的，而且是必然如此的——它被认为是对空间唯一正确的描述。然而，人们现在可以选择公理并得到同样正确的描述，这一事实让大家对整个概念体系产生了浓厚兴趣。
仔细构建的推理体系似乎在一夜之间变成了一场游戏，在这场游戏中，公理不过是扮演了规则的角色。你可以改变公理来玩一场完全不同的游戏。不过，这种认知给理解数学本质带来的巨大冲击，超乎了人们的想象。
许多富有想象力和创造力的数学家为了给欧几里得几何最后的一击铺平了道路。
其中值得特别关注的有基督教神父吉罗拉莫·萨凯里（Girolamo Saccheri，1667—1733），他深入研究了如何用另一种不同形式的表述来代替第五公理；德国数学家乔治·克鲁格（Georg Klügel，1739—1812）和约翰·海因里希·朗伯（Johann Heinrich Lambert，1728—1777），这两人第一次意识到欧几里得几何可能会被其他几何体系替代。
除此之外，一些数学家为“欧几里得几何是唯一一种宇宙空间表现形式”这一思想的葬身之棺钉下了最后一颗钉子。而这一荣誉应当由三位数学家来分享，他们一位来自俄罗斯，一位来自匈牙利，还有一位来自德国。
第一位公开发表论文，从整体上阐述这门全新几何学的人就是俄罗斯数学家尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky，1792—1856，图 6-3）。
这是一种建立在像马鞍一样的弯曲表面上的几何。在这门几何学中（今天我们称为双曲几何），替代欧几里得第五公理的表述就成了如下的形式：“在平面上给定一条直线和不在直线上的一点，经过该点至少能作出两条与给定直线平行的平行线。”
罗巴切夫斯基几何学与欧几里得几何学还有一个重要的区别：在欧几里得几何中，三角形的内角和总是 180°（图 6-4b），而在罗巴切夫斯基几何中，三角形的内角和总是小于 180°（图 6-4a）。罗巴切夫斯基的学术观点主要发表在《喀山公报》上，而这份杂志在当时并不出名，所以他的理论完全没有得到应有的重视。
直到 19 世纪 30 年代，有关罗巴切夫斯基几何的理论被翻译为法语和德语后，才引起了人们的广泛关注。在此之前，匈牙利年轻的数学家鲍约·亚诺什（János Bolyai，1802—1860）并未看到罗巴切夫斯基的文章，也在 1820 年左右系统地阐述了与罗巴切夫斯基几何类似的几何学理论。
出于年轻人特有的激情，他在 1823 年给父亲的信中写道：“我发现了一些精美绝伦的东西，这让我无比震惊……我从一片虚无中创造了一个全新的世界。”他的父亲鲍约·法卡斯（Farkas Bolyai）也是一名数学家，图 6-5 是他的肖像。
在 1825 年，亚诺什已经完成了研究，准备让父亲看看自己关于这门新几何学的理论著作的草稿。亚诺什把这份手稿命名为《空间的科学绝对性》。虽然年轻的亚诺什兴高采烈，但他的父亲却不能确定这种理论是否正确。不过，法卡斯还是决定把儿子的新几何作为他本人的两卷本著作的附录一同出版——法卡斯的书以研究经典几何、代数和分析学的基础为主要内容。
据说，这本书写作手法十分有趣，书名就叫《为好学的年轻人所写的关于数学基本原理的随笔》。该书出版后，法卡斯送给了他的朋友高斯（图 6-6）一本，而高斯不仅在当时就被认为是最杰出的数学家，并且被后世许多人推崇为人类有史以来最伟大的数学家之一，足以和阿基米德与牛顿并肩。
可惜，由于爆发了霍乱，送给高斯的那本书在混乱中遗失了，法卡斯又给高斯送去了另一本。高斯终于在 1832 年 3 月 6 日给法卡斯回了信。不过，他的评论与年轻的亚诺什所期望的并不完全一样。
图 6-3 罗巴切夫斯基
图 6-4
图 6-5 鲍约·法卡斯
图 6-6 高斯
“如果我一上来就说，我无法称赞这本著作，您也许会感到十分惊讶。但除此之外，我的确没法再说别的了。这是因为如果我表扬它，就是在表扬我自己。事实上，这本书的所有内容——您儿子的思想和他所得出的结论——与我的想法几乎一模一样。而在过去的 30 或 35 年里，这些想法一直占据着我的一部分思考。所以我有些茫然无措。迄今为止，我从未把这些结论写下来，而且我当时想，在我的有生之年都不会把它们拿出来发表。”
虽然法卡斯觉得高斯对亚诺什的评价很高，他认为高斯的赞扬“令人欣喜”，但是，亚诺什却因为自己的研究与高斯的思想完全相同而备受打击，并从此之后彻底地消沉了。在接下来的近十年时间里，他一直拒绝相信高斯在自己之前就已经开始研究这门几何的说法，而且，还因此严重影响了父子之间的感情——亚诺什怀疑父亲过早地把自己的研究结论透露给了高斯。
后来，当亚诺什最终确认高斯的确在 1799 年左右就开始研究这一课题时，他变得更加愤世嫉俗，这种糟糕的心态也影响了他的学术研究。在亚诺什去世前，他留下了大约两万页的数学手稿，但相比而言，这些研究显得暗淡无光。
不过，毋庸置疑，高斯的确对非欧几何进行了大量思考。
他在 1799 年 9 月的一篇日记中写道：“在几何的原理方面，我们取得了非凡的成就。”接着，他在 1813 年又提到：“关于平行线理论，我们如今并不比欧几里得知道得更多。这是数学中让人脸红的一部分，它迟早会变成另一种完全不同的形式。”
几年之后，高斯在 1817 年 4 月 28 日所写的一封信中又讲道：“我现在越来越确信，今天的（欧几里得）几何学的必然性并不能被证实。”最终，高斯得出的结论与康德的观念恰好相反：欧几里得几何不能被视为普适的永恒真理，并且“不能把欧几里得几何与算术相提并论（因为算术是先验性的），但大致可以与力学相提并论”。
费尔迪南德·施韦卡特（Ferdinand Schweikart，1780—1859）是一位法理学教授，他在 1818 年或 1819 年写信告诉高斯，他也独立得出了类似的结论。由于高斯和施韦卡特都没有公开发表过他们的观点和结论，所以在传统上，人们一直把发现非欧几何的荣誉归于罗巴切夫斯基和鲍约·亚诺什——其实，这两位绝不是非欧几何的独家“缔造者”。
双曲几何犹如晴天霹雳一般打破了数学世界的沉寂，给欧几里得几何学唯一的不可动摇的空间描述带来了沉重打击。在高斯、罗巴切夫斯基和鲍约之前，欧几里得几何长期以来一直被视为世界的本质。
然而，人类还可以选择一套不同的公理来构建一门完全不同的几何，这一事实让人们第一次开始怀疑，数学似乎是人类的发明，而不是独立存在于人思维之外、等待人类去发现的真理。同时，欧几里得几何学与真实物理空间之间的直接关系也破裂了，“数学是宇宙的语言”这一思想暴露出了致命的缺陷。
当高斯的一名学生波恩哈德·黎曼证明双曲几何并不是非欧几何的唯一形式时，欧几里得几何学的优越地位变得更加岌岌可危了。
黎曼于 1854 年 6 月 10 日在德国哥廷根做了一场演讲，演讲中处处闪耀着天才的思想火花。图 6-7 展示的是这篇后来公开发表的演讲稿的第一页。黎曼借助“以几何基础为前提的猜想”表达了自己的观点。
黎曼一开始就说：“几何学预先假设了空间的概念，并假定了构建空间的基本原理。但是，几何对此仅给出了名称上的定义，而这些概念和原理的本质说明是以公理的形式出现的。”但他接着又指出：“那些预先假设之间的关系还不为人所知。我们看不出它们之间的任何联系是否是必然的，或者在多大程度上是必然的，甚至不能预先确定，它们之间是否可能存在联系。”
在各种可能的几何学理论中，黎曼重点研究了椭圆面几何。这是一门建立在椭圆体表面上的几何理论（图 6-4c）。
请注意，在这门几何学中，两点之间的最短距离并不是一条线段，而是大圆上的一段弧，而这个圆的圆心恰好也是球心。航空公司就是利用这一特性来确定飞行航线的，所以，从美国到欧洲的国际航班的飞行线路并不是我们在地图上看到的直线，而是一段向北的大圆弧。你可以很轻易地证明，任意这样的两段大圆弧都会在直径的两端相交。
例如，地球上的任意两条经线，在赤道附近看上去是平行的，实际上却会在两极相交。在欧几里得几何学中，经过直线外的一点只能作一条与该直线平行的平行线。而非欧几何则不同。在双曲几何中，经过直线外的一点至少能作两条与该直线平行的平行线。而在椭圆面几何中，连一条这样的平行线也没有。黎曼把非欧几何的概念推向了更为广泛的天地——他把这类几何引入三维、四维，甚至维度更高的空间曲面中。在这个过程中，黎曼拓展出了一个关键概念——曲率。曲率标识了曲线或曲面的弯曲比率。
例如，在一个鸡蛋壳的表面上，蛋壳中段部分的曲线要比经过蛋壳两端尖头的曲线平缓，也就是说曲率要小。黎曼提出了任意多维空间中的曲率的精确数学定义。通过这一定义，黎曼让最早由笛卡儿提出的“几何与代数的结合”变得更加紧密。在黎曼的研究中，包含任意多个变量的方程式都能在几何学中找到自己的对应，而高级几何中的新概念也成了方程式的一部分。
图 6-7
19 世纪出现了全新的几何之后，欧几里得几何并不是唯一的受害者，康德关于空间的思想也未能幸免。让我们回想一下，康德曾经断言，人类感知到的信息在进入意识之前，必须经过欧几里得几何学中的模板加以重组。
但是，19 世纪几何学家们的“直觉”似乎在一夜之间全部被唤醒了。很快，他们就在非欧几何领域取得了众多进展，并开始学习沿着非欧几何指明的全新道路去感受世界。
最终，欧几里得几何学对空间的感知竟然被证明是后天学来的，而不是直觉获取的。面对这些剧烈的变化，法国著名的数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré，1854—1912）提出，几何的公理“既不是综合的先验性直觉，也不是经验事实。它们是约定俗成的。我们根据经验事实做出选择，而这种选择是自由的”。换句话说，庞加莱仅把公理视为“伪装的定义”。
庞加莱的观点不仅受到了上述非欧几何思想的启发，同时也受到了当时不断涌现的其他新几何的鼓舞。
在 19 世纪末前，新几何的发展似乎不受控制了。
例如，在投影几何学（比如，当电影胶片上的影像被投射到屏幕上时形成的图形）中，直线和点这两个角色可以互换，因此，关于点和线（请注意这里的次序）的定理能变为线和点的定理。在微分几何学中，数学家利用微积分研究各种数学空间的局部几何属性，例如球面或环面上的几何属性。
这几类几何和其他类型的几何乍一看似乎是数学家充满想象的发明，而不是对物理空间的精确描述。那么，后人又该如何证明“上帝是数学家”？毕竟，如果“上帝总在研究几何学”（历史学家普卢塔克认为这句话出自柏拉图），那么哪一种几何是神采用的呢？
很快，对欧几里得几何缺点的深刻认识引起了数学家对数学基础的普遍关注，特别是数学与逻辑之间的关系。在第 7 章中我们还会继续讨论这个重要的主题，我在这里就提一句：“公理是不证自明的”这一观点已经动摇了。虽然 19 世纪的人们也见证了代数和分析领域的一些重大进展，但是，几何学的发展对数学本质问题的影响是最深远的。”
数学家们在转向数学基础这一重大问题之前，他们还需要先关注一些“小”课题。
首先，非欧几何虽然已经被系统地阐述，并公开发表了，但是，这并不意味着它们是数学的“合法后裔”。长期以来，数学界一直对“不一致”必怀恐惧——将非欧几何引入最终的逻辑结果，可能会产生无法解释的矛盾。
在 19 世纪 70 年代，意大利人尤金·贝尔特拉米（Eugenio Beltrami，1835—1900）和德国人菲力克斯·克莱因（Felix Klein，1849—1925）证明了，只要欧几里得几何是一致的，那么非欧几何也一样。然而，这一证明却为欧几里得几何基础的稳固性带来了更多问题。
接下来，还有重要的相关性问题。大多数数学家把这些新的几何学当作一件新奇、好玩的事物。一直以来，欧几里得几何学被视为对真理空间的描述，这也奠定了欧几里得几何学的历史声望。但在一开始时，非欧几何被认为与物理现实没有任何联系。
因此，非欧几何被许多数学家视为欧几里得几何的“穷亲戚”。然而在这些人之中，庞加莱却比其他任何人都更加重视非欧几何。但是，即使是庞加莱本人也坚持认为，就算人类真的被带入一个由非欧几何主导的世界，有一点仍然“确定无疑，我们会发现，这种（从欧几里得几何到非欧几何的）改变不会更容易”。
因此，有两个问题凸显出来：第一，几何学（个体）和数学（整体）的其他分支能建立在不证自明的稳固的逻辑基础之上吗？第二，数学和物理世界之间的关系（如果这种关系的确存在的话）究竟是什么？
在历史上，一些数学家在确认几何基础时采用了一种务实的方法。当这些数学家失望地意识到，过去被视为绝对真理的东西最终被证明是基于经验的而非精确的时，他们就转向了算术，也就是对数的研究。在笛卡儿的解析几何中，图形可以由一个特定的公式来表达，一对有序数可以作为平面上的一个点的唯一标识，等等。这种几何以数为基础，为重新建立几何基础提供了必要的工具。
德国数学家雅各布·雅各比（Jacob Jacobi，1804—1851）用自己的座右铭“上帝总在研究算术”代替了柏拉图的名言“上帝总在研究几何”。这虽然只是文字上的小小改变，却真实表达了当时的风潮。不过，在某种程度上，这只是把问题转到了数学的另一个分支中。
事实上，著名的德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）已经成功地证明了，欧几里得几何的一致性与算术的一致性不相上下。不过在这个问题上，距离建立起一种清晰明了的一致性，算术还有很长的一段路要走。
至于数学和物理世界之间的关系，新的感情还没有真正确立起来。几个世纪以来，把数学理解为解读宇宙奥秘的工具，这种观点已经深入人心，并在不断被强化。
伽利略、笛卡儿、牛顿、伯努利家族、帕斯卡、拉格朗日、凯特勒和其他数学家将科学“数学化”，仿佛恰恰强有力地证明了，自然界是在数学的基础上设计的。人们甚至会说，假如数学不是宇宙的语言，那么它为什么在解释自然的基本规律和人类特征时都同样有效？
可以确信的是，数学家们的确意识到，数学仅仅处理抽象的柏拉图形式，但这些形式被视为现实物理元素的合理的理想化形式。事实上，在他们看来，自然这本大书是用数学这门语言所书写的——这种感受已经深深地根植于他们的观念之中，以致许多数学家拒绝思考一下，数学概念和结构能否与物理世界直接相关联。
我们以杰罗拉莫·卡尔达诺（Gerolamo Cardano，1501—1576）为例。卡尔达诺是一个十分有趣的人，他在数学和物理学领域都建树颇多，但同时好赌成性。
1545 年，他出版了一本十分有名的书，名为《大术》，这本书是代数学史上最有影响力的学术著作之一。在这本综合性专著中，卡尔达诺深入分析了代数方程解法中大量的细节性问题，包括二次方程式、三次方程式和四次方程式的解法，其中有很多研究都是开创性的。然而在经典数学中，参量通常被理解为几何元素。
英国数学家约翰·沃利斯（John Wallis，1616—1703）在他的著作《算术的无限》中也表达过同样的观点——牛顿曾经从这本书中学习过分析法。在其另一本重要的著作《代数论文集》中，沃利斯公开宣称：“确切地说，自然界不承认三维以上的概念。”这在历史上是第一次有人如此明确地提出这一观点。接着，他又详细解释了自己的观点：
“两条直线相交，会形成一个平面；平面与直线相交，会形成一个立体。但是，如果立体与一条直线相交，或者平面与平面相交，会形成什么呢？超平面（plano-plane）？这将是一个自然的怪物，比'奇美拉’和'人头马’更不现实。因为长度、宽度和高度已经构成了整个空间。我们想象不出，任何超越三维的第四维空间是什么样子。”
在这里，沃利斯的逻辑十分清晰：即使能想象出一门并非描述真实空间的几何学，那也是没用的。
这些观点最终还是被逐渐改变了。18 世纪的数学家们第一次开始思考以“时间”作为三维空间之外的潜在的第四维。在 1754 年发表的一篇名为《维度》的文章中，物理学家让·达朗贝尔（Jean D'Alembert，1717—1783）写道：
“我已经声明过，不可能有比三维更多的维度。我的一位朋友认为，可以把时间当作空间的第四维，从某种程度上讲，时间与立体的产物就成了四维的产物。这种思想充满了争议，但对我而言，这不仅仅是一种博人眼球的新奇看法，它还是很有价值的。”
这些大胆的思想为数学开辟了一片新的天地——任意维度的几何学，这在过去是不可想象的。事实上，这些几何学完全不考虑自己是否与物理空间有联系。
康德相信，我们对空间的认知完全遵循欧几里得几何给出的范型——他也许真的错了。但是，我们在大多数情况下感知到的是不超过三维的空间，这一点毫无疑问。相对而言，我们可以轻易地想象出，自己身处的这个三维世界在柏拉图所谓的“二维宇宙世界”里是什么样子的。然而，如果从三维世界出发，向多维世界迈进，则确实需要像数学家一样拥有丰富的想象力。
在n维几何（在任意维度空间中的几何）的研究领域中，最重要也是最具突破性的工作是由赫尔曼·巩特尔·格拉斯曼（Hermann Günther Grassmann，1809—1877）完成的。
格拉斯曼有兄弟姐妹 11 人，而他本人也是 11 个孩子的父亲。格拉斯曼是一位学校老师，从未接受过任何正规的大学数学教育。在格拉斯曼的一生中，他在语言学方面得到的褒奖——特别是他在梵语和哥特语方面的研究，要比他在数学上获得的成就多得多。
一位传记作者曾写道：“格拉斯曼似乎命中注定要时不时地被人们重新发掘，而且人们每次重新认识他的时候，都觉得他好像自去世后，就早已被大家忘记了。”格拉斯曼创立了一门关于“空间”的抽象学问，在这门空间的学科中，经典的欧几里得几何学不过是空间的一个例子。
格拉斯曼在 1844 年出版了一本名为《线性延伸理论：数学的一个新分支》的书，通常又被称为《延伸理论》（Ausdehnungslehre）。在这本书中，他介绍了自己那匠心独具的思想，其中最主要的思想构成了我们今天所熟知的一个重要数学分支——线性代数。在这本书的前言中，格拉斯曼写道：
“几何绝不能被看作……数学的分支。事实上，几何与自然界的某些特性（也就是所谓的空间）联系在了一起。我已经意识到，一定有一门数学的分支，能以一种纯粹抽象的方式带来与几何类似的规则。”
这是一种看待数学本质的全新认识。对格拉斯曼而言，传统的几何（它们是古希腊思想的遗产）处理的是物理空间，因此不能被当作抽象的数学的真正分支。在格拉斯曼看来，数学更是人类思维的一种抽象观念，不必应用在真实世界里。
到 19 世纪 60 年代，n维几何如雨后春笋般迅速地发展了起来。在这一时期，不仅黎曼在一系列极具启发意义的演讲中，逐步建立起了任意曲面和任何维度的空间的概念，而且，当时的许多数学家，如英国数学家阿瑟·凯莱（Arthur Cayley）和詹姆斯·西尔维斯特（James Sylvester），以及瑞士数学家路德维格·施拉夫利（Ludwig Schläfli）都为n维几何的发展做出了重要贡献，他们的研究为n维几何增加了新的内容。
从此之后，数学家们开始感到自己从严格的限制中被解放了出来。几个世纪以来，数学一直被严格限定在空间和数的概念上。这种限制的历史惯性十分强大，甚至直到 18 世纪，伟大的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）在一次表达自己对数学的看法时还在说：“数学，在通常情况下是一门研究数量或是研究测量方法的科学。”只有在进入 19 世纪以后，变革的春风才逐渐吹起。
首先，引入抽象的空间和（几何和集合理论中）无穷的概念模糊了“数量”和“测量”的意义，某种程度上超越了人类的一般认知。其次，人们对数学抽象的研究迅速发展，让数学与物理现实之间的距离也越来越大，但是，日常生活和“现实存在”反而进入了抽象世界。
格奥尔格·康托尔（Georg Cantor，1845—1918）是集合理论的创建者，他用以下这则“独立宣言”描写了这种全新数学的自由精神：“在总体上，数学的发展是自由的，而唯一限制它的就是所谓'不证自明’，也就是说，各种概念必须彼此一致，同时还必须根据定义的顺序排队，与先前已经被引入并已证实的概念维持正确的关系。”
对于这种观点，代数学家理查德·戴德金（Richard Dedekind，1831—1916）在时隔 6 年后补充道：“我认为，数学的概念完全独立于我们对空间和时间的观念或直觉……它们是人类思想的创造产物。”换句话说，康托尔和戴德金都把数学视为一种抽象的概念性的研究，这种研究仅受到一致性要求的限制，数学对计算或物理世界的语言不承担任何义务。
正如康托尔所总结的：“数学的本质完全在于它的自由。”
到了 19 世纪末，绝大多数数学家接受了康托尔和戴德金关于数学的自由特性的观点。数学的目标也从研究自然的真理转变为建立抽象结构——构建公理体系，探寻公理在逻辑上所有可能的结论。
人们曾经一度乐观地认为，这些新观点和理论的发展，将会使“数学究竟是人类的发现，还是人类的发明？”这个烦人的问题走向终结。如果数学只不过是一场非常复杂的游戏，有任意的规则，那么很明显，相信数学概念的真实性就是毫无意义的——不是吗？
令人吃惊的是，脱离物理现实反而让某些数学家获得了相反的感受。他们不再认为“数学是人类的发明”，而又重新回到了柏拉图提出的“数学是独立的真理世界”的思想中。
这个独立的真理世界的存在和物理世界的存在一样真实。试图在数学和物理之间建立联系的研究工作被划分到应用数学范畴，后者与被认为根本不关心任何物理现实的理论数学形成了鲜明对比。
法国数学家夏尔·埃尔米特（Charles Hermite，1822—1901）在 1894 年 3 月 13 日给荷兰数学家托马斯·斯蒂尔杰斯（Thomas Joannes Stieltjes，1856— 1894）写了一封信，表达了对这一问题的看法。他写道：
“我非常欣慰地看到，你已经转变到一位自然学家的视角来观察算术世界的现象。你信奉的信条和我的完全一致。我相信，数学分析中的数字和函数绝非人类思维的产物，它们独立存在于我们的思维之外，与客观现实有着相同的必要特征。我们面对它们、发现它们并研究它们，正如物理学家、化学家和生物学家在各自学科领域内的研究一样，并无什么本质区别。”
英国数学家哈代是一位典型的理论数学家（我们在前面介绍过他），同时也是一位直率的现代柏拉图主义者。他于 1922 年 9 月 7 日在英国科学促进会发表的一场演讲中宣称：
“数学家们已经建立起大量不同类型的几何学体系。除欧几里得几何学之外，还有一维、二维、三维甚至更高维的非欧几何学。所有这些几何学体系都十分复杂，并且同样正确。它们包含了数学家对其真实性的观察。与物理学的不确定和难以捉摸相比，数学中的真实性要更突出，并且更严谨。此时，数学家的作用就变为观察自己研究的错综复杂的现实系统反映出的事实，通过观察得出令人震惊、复杂而又优美的逻辑联系，正是这些联系形成了该科学的主要内容。在这一过程中，数学家就像是一位攀登高山的探险家，他把沿途看到的东西全部都记录在一系列的地图上，而这些地图每一张都是理论数学的一个分支。”
显而易见，即使有当代的证据展现数学的自由本质，那些坚定的柏拉图主义者并不准备放下他们的武器。他们发现机会，钻入哈代所说的“真实性”之中。对他们而言，这甚至比继续探索与物理真实性之间的关系还要令人兴奋。
然而，不论形而上哲学如何看待数学的真理性，有一件事是十分清楚的：对于数学的自由性而言，有一条约束是不会改变的，也是不可动摇的，那就是数学理论在逻辑上的一致性。
数学家和哲学家比过去任何时候都更清醒地认识到，数学和逻辑之间的紧密联系是绝不能被分割的。
但是，这就产生了其他的疑问：是不是所有数学问题都能建立在逻辑基础之上？如果能的话，这就是数学那“神秘的有效性”的奥秘所在吗？或者，保守一点说的话，数学方法在通常情况下能运用在推理研究中吗？
如此一来，数学不仅是自然界的通用语言，也成了人类思考的语言。
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