德国数学家G..Cantor被公认为是集合论的首创者。他的理论被Hilbert誉为“数学思想的最惊人的产物，在纯粹理论范畴中人类活动最优美的表现之一”。的确，集合论的诞生在某种程度上促进了数学许多领域的深入发展。
Cantor思想的精髓体现在他的无限集理论中。无限集与有限集有一个十分有趣的本质区别：无限集必可对等于它的某个真子集，有限集则无此性质。这个结论的证明是比较简单的。在这个基础上可以给出无限集与有限集的严格定义：
若一集对等于它的某个真子集，则称它为无限集；不是无限集的集成为有限集。
这个定义显然比朴素观点下对无限集有限集的理解要严格，但是严格的同时也要抽象的多。从这个定义作为出发点将能够建立起一整套的关于无限集的理论。
对无限集而言，又可分为可数集与不可数集。这种简单的划分初步体现了基数理论。在实际应用中，可数性概念的重大价值在于：若E是不可数集，则从E中去除任意可数个可数集之后仍为不可数集且基数不变，也就是说就元素多少而言，不可数集中的任何可数子集都是无足轻重的。这为刻画“稀有”与“一般”这一对范畴提供了一种强有力的数学方法。这种数学方法在泛函分析中的类比称为纲定理：
可数个疏集之并称为第一纲集；非第一纲集称为第二纲集。
在这里显然单点集总是疏集，于是可数集是第一纲集。第一纲集刻画了稀有情形，第二纲集刻画了一般情形。例如在实数中，代数数是“稀有的”，而超越数则是“一般的”。再如区间[a,b]上的所有连续函数构成一个集合——不妨看作点集，将这个集合中的每一个具体函数看成一个点，能够得到结论：[a,b]上几乎所有函数处处不可微，也就是至少有一点可微的连续函数是稀有的。直观上讲即连续曲线很少是光滑的。而这个结论初看起来颇令人惊讶，因为在我们的印象中可微函数俯拾即是，而构造一个处处不可微的连续函数是一件极不容易的事情（最早由Weierstrass于1872年给出一个例子）。
基数理论是集合论中最重要的内容之一，它极其深刻且形式优美。对于所有的集合可以按照下述原则进行划分：对于每个集合A，凡与A对等的集合必然属于某一类。这样便得到许多不同的类，而且容易看出任何一个集合必然属于某一类。体现这种分类的标志便是基数，集合的基数反映了集合的对等关系，同时也表明集合元素的个数。基数理论中重要的几个结论为：可数集基数记为 或a；与实数集R对等的集的基数记为 或者c；不存在集合A，其基数介于a和c之间（Cantor连续统假设）；不存在最大的基数等等。在此基础上借助对等这个工具形成了一套判定集合基数的结论和方法。显然，基数大小的比较是通过集合元素多少的比较（对等）来完成的，而不存在最大基数这个结论的证明中与悖论有一定的相似之处。
对点集理论的研究是由经典分析的深入发展发展所驱动的。我们首先定义了一些基本概念：内点、孤立点、聚点（极限点）、内部、导集、闭包、边界等等，应注意到这些概念可以从多个不同的角度进行刻画。其次对于点集性质的刻画，最重要的概念是内部与闭包，而这两个概念显现某种对偶性。例如 、 与 等等。利用内部、闭包等概念可以得到几类特殊的点集：开集、闭集、稠集、紧集、完备集等等，其中开集和闭集是最重要的。A是闭集 Ac是开集，这一结论深刻揭示了开集与闭集之间的关系，同时由E、空集既是E中的开集又是E中闭集又可知开集与闭集也并非完全互斥的两个概念。
应该注意到的是A是开集 A中每个点均为内点，也就意味着A含 必含 邻近的点。因此，“微小的扰动”不会使A中的点逸出A外，这反映了某种性质的“稳定性”。例如在n阶实矩阵的空间 中，可逆矩阵之全体构成一开集，这即说明矩阵的“可逆性”是一个稳定的性质，不因微小扰动而被破坏。
通过对开集和闭集进行运算，得到了Gδ和Fσ这两类新的有很大应用价值的集，如测度论中Gδ和Fσ可以用于可测集的构造。
此外关于n维点集还有一些容易理解但是十分重要的基本定理Cauchy收敛原理、有限覆盖定理、闭区间套定理与Bolzano－Weierstrass极限点定理等。
Cantor集是一类非常有趣的集合。它的有趣表现在几条性质上，不妨记Cantor集合为C：
ⅰ.C是非空有界闭集.ⅱ.C没有内点. ⅲ.C的导集即是C自身. ⅳ.C具有连续势.
Cantor集的成功构造缘于Cantor本人对开集所给出的一个结论：直线上的任一开集U必定是可数个互不相交的开区间的并集。这个结论在Rn空间中有相似的形式。
*文章部分内容整理于网络
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