有趣的数学

摆线，几何学的“海伦” (The Helen of Geometry) ,是数学中比较独特而有趣的曲线 之一，它被定义为：“在一个直线运动的圆上， 某一固定点所经过的轨迹连成的曲线”，又叫做摆线。

最早介绍摆线的参考书，是1501年由査尔斯·鲍威尔（Charles Bouvelles)出版发行的。但是，17世纪，许多著名的数学家（伽利略、 帕司科、托里切利、笛卡儿、符麦特、壬、沃利斯、惠更斯、乔恩·贝诺利、 莱布尼兹、牛顿）都致力于发现它的性质和特征。17世纪，人们热衷于用数学来研究机械学和运动学，这也许可以解释为什么人们对摆线也产生了浓厚的兴趣。同当时的许多数学发现一样，摆线也有着许多争论，争论谁最先发现了什么原理，相互指责对方剽窃，以及贬低对方 的成果。结果，摆线被贴上了 “祸根”这样的标签，叫做几何学的“海伦”，或者引起纷争的“金苹果” 。17世纪期间，人们发现了摆线的 很多特征：

1) 长度为旋转圆直径的4倍。尤其有趣的是，人们发现，

它的长度是一个独立于π的有理数。

2) 拱形弧线下方区域的面积等于旋转圆面积的3倍。

3) 圆上一点的轨迹形成摆线，该点有着不同的速度——事 实上，在其中一个位置，如点込上，它甚至是静止不动的。

4) 一个摆线形状的容器中，如果将大理石块从摆线上的不 同点松开，使其降落，它们会同时到达底部。

有许多引人人胜的隽语都与摆线有关，下面这句关于火车的隽语就 特别有趣：

在任何时候，行进中的火车都不会完全朝着发动机牵引的方向前进，其本身总有一部分朝着相反的方向做运动。

这个似是而非的隽语就能够用摆线来解释。这里是一条曲线，叫做长辐圆滚线——旋转轮外的某一固定点形成的轨迹。这个图形表明，当火车朝前移动时，火车轮上有些部分在做着向后的运动。