在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又a3与a5的等比中项为2，（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设b

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在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又a3与a5的等比中项为2，

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=5-log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的通项公式；

（Ⅲ）设Tn=1

S1

+1

S2

+…+1

Sn

，求Tn．

【考点】数列的求和；等比数列的性质．

【专题】等差数列与等比数列．

【分析】本题（Ⅰ）可以根据条件得到首项与公差的方程，解方程组得首项和公差，从而不出数列的通项公式，也可以先求出a3与a5，再求出出首项和公差，得到数列{an}的通项公式；（Ⅱ）根据数列{an}的通项公式，求出数列{bn}的通项公式，利用等差数列的求和公式，求出数列{bn}的前n项和为Sn，得到本题结论；（Ⅲ）利用数列{bn}的前n项和为Sn，用裂项法求和，得Tn，即本题结论．

【解答】解：（I）∵等比数列{an}中，a1a5+2a3a5+a2a8=25，

∴a32+2a3a5+a52＝25．

∵an＞0（n∈N*），

∴a3+a5=5．

又∵a3与a5的等比中项为2，

∴a3a5=4，

而q∈（0，1），

∴a3＞a5，

∴a3=4，a5=1．

∴q＝1

2

，a1=16．

∴an=16×（1

2

）n-1=25-n．

（Ⅱ）∵bn=5-log2an，

∴bn=5-log2an=5-（5-n）=n，

∴bn+1-bn=1．

∴{bn}是以b1=1为首项，1为公差的等差数列，

∴Sn＝n(n+1)

2

．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知1

Sn

＝2

n(n+1)

＝2(1

n

1

n+1

)，

∴Tn=1

S1

+1

S2

+1

S3

+…+1

Sn

=2[（1-1

2

）+（1

2

1

3

）+（1

3

1

4

）+…+（1

n

1

n+1

）]

=2（1-1

n+1

）

=2n

n+1

．

【点评】本题考查了数列的通项公式及前n项和公式的求法，本题难度不大，属于基础题．