浮点数的二进制表示

看了这篇文章才对浮点数的二进制表示有所了解，不过我的目的不是为了软考。

C/C++编译器都是按照IEEE的浮点数表示法，即一种科学计数法 ，用符号，指数和尾数来表示，底数为2，也就是把浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再添加上符号的形式。因为科学技术法 a×bm的形式，a介于1～10，而浮点数表示法中，a始终为1，所以在最终的表示结果中，这个1被略去。

具体规格是：

符号位阶码尾数总长度

float182332

double1115264

下面通过例子来解释上面的表示规格：

38414.4表示为double：分开整数和小数部分，整数化为16进制，0x960E；小数部分为：0.4=0.5×0+0.25×1+0.125×1+……+0.5×（1 or 0）/n+……。

有的小数可以穷尽，有的是永远不会穷尽的，此时只需要提取出各项的系数，即011……，这些项的和加上整数部分共53位就可以了。正如上面所言的，最高为不变的1可以省略，最终是53-1=52位。

38414.4可以表示为b1001011000001110.0110011001100110011001100110011001100。

用科学计数法表示为1.0010110000011100110011001100110011001100110011001100×215。

然后计算阶码，阶码共11位，可以表示-1024~1023，因为指数可以为负数，为了方便表示，先加上1023变为非负数，上面的15表示为15+1023=103，二进制为10000001110。符号位，0为正，1为负。所以最终结果是

0 10000001110 0010110000011100110011001100110011001100110011001100

颜色与上表对应。

3490593表示为float：

3490593的浮点数为3490593.0。

整数化为二进制，为b1101010100001100100001，即1.101010100001100100001×221，由于float的尾数有23位，需要补0，即1.10101010000110010000100×221。

计算阶码时，类似double的表示，阶码共8位，表示的范围是-128～127，为了方便，加上127，上面的21表示为21+127=148=b10010100。

最终结果是：

0 10010100 10101010000110010000100

颜色与上表对应。

0.5的二进制表示：

上面给出了0.4的二进制表示的计算方法：

0.4=0.5×0+0.25×1+0.125×1+……+0.5×（1 or 0）/n+……。

它是无穷尽的，知道精度合适了为止。然而对于有的数来说，是有穷的，比如

0.5=1×0.5。

整数部分为0，小数部分为0.1，所以0.5的二进制形式是0.1，即1.0 × 2-1。

计算阶码时，用127+(-1)=126=b1111110。

所以最终结果是：

0 01111110 00000000000000000000000

颜色与上表对应。

-12.5的二进制浮点表示：

整数部分为12，即b1100；小数部分为0.5，即b0.1，即1100.10000000000000000000，即1.10010000000000000000000 × 23。

计算阶码，3+127=130，即b10000010，所以最终结果是：

1 10000010 10010000000000000000000

颜色与上表对应。

逆向求取，1011 1101 0100 0000 0000 0000 0000 0000转为十进制：

1011 1101 0100 0000 0000 0000 0000 0000为：

1 01111010 10000000000000000000000

所以该数为-1.10000000000000000000000 × 201111010-127=-5=-b0.000011=0.046875

有关浮点数和double的精度（http://www.learncpp.com/cpp-tutorial/25-floating-point-numbers/）：

Variables of type float typically have a precision of about 7 significant digits (which is why everything after that many digits in our answer above is junk). Variables of type double typically have a precision of about 16 significant digits. Variables of type double are named so because they offer approximately double the precision of a float.