摘 要
在过去的20年里，进化算法已经成功用于解决2个或更多个目标(称为“多目标”)的问题。这个领域被称为“进化多目标优化”，已成为一个非常活跃的研究领域，该领域上升到各式各样的算法、技术来维持多样性、选择机制、归档和应用方案,以及其他重要的贡献。在本文中，我们将提供一个通用的概述,强调在这个领域中已经发展起来的主要研究成果，以及它的研究趋势和未来的挑战。
两个或更多目标（称之为“多目标”）的问题在工程和许多学科中普遍存在。解决这样的问题是困难的，因为他们的目标往往相互之间有冲突,这样就有必要给出一个最优的新概念。
十九世纪末，一个最优概念在经济学中已经发展起来。后来，这个最优概念在运筹学中被正式介绍并开始应用于解决多目标问题。在过去的几年，这项研究区域增长到几乎成为一个单独的运筹学分支来进行研究。
从历史上看,进化算法的研究专家第一次接触多目标优化是在20世纪60年代。然而，直到1985年才有第一个实际的算法的贡献。自那时起,该领域（现在称为“进化多目标优化”,或简称EMO）经历着一个重大的成长过程。
从在这个领域中形成的重要成果的前景，这一节介绍了EMO的一般概念。其余的章节如下顺序介绍：第二节介绍一些基本概念，这使得该节看起来是独立的。第三节，我们描述了多目标优化的起源以及在这个领域中进化算法的使用的简短概述。第四节描述EMO的初期形成，包括大约13年的状况和一些简单而使用的方法。第五节描述第二个阶段，包括我们当前研究的日子。最后，第六节提供一些看法，这些看法形成了本论文作者的观点，这看出我们将在未来的几年内继续对多目标问题的研究。第七节时本文的结论。
1、基本概念
本文重点强调解决如下形式的多目标优化问题（MOPs）：
（1）
有m个不等式约束条件：
（2）
和p个等式约束条件：
（3）
k是目标函数的个数：我们称为向量决策变量。我们想要确定在所有向量组成的集合F中满足约束条件（2）和（3）的特殊解集，这个解集也是所以目标函数的适宜值。
很少存在仅有一个单一的点同时优化了所有的目标函数的情况。因此，在处理多目标优化问题时，我们通常要寻找“取舍”，而不是单一的解决方案，“最优”的概念因此也是不同的。最普遍采用的最优概念最初是由佛朗西斯斯多罗埃奇沃斯和后来的维尔弗雷多帕累托提出的。虽然有的作者称这个概念为奇沃斯-帕累托最优（参见例[68]），我们将用普遍接受的术语：帕累托最优。
我们说这样一个决策变量是帕累托最优，如果不存在另一个决策变量使得，（），并且至少存在一个满足，。换句话说，是怕累托最优的，那么在集合中不存在解在降低某些标准的同时不引起其它至少一个标准的提升。不幸的是,这一概念几乎总是给没有单一的解,而是一个称为帕累托最优的解集。这样满足帕累托最优的解集中的向量称为非支配的。目标函数下的帕累托最优解集的图像称为帕累托前沿。
自20世纪50年代，运筹学（OR）研究组织就一直着手于近似求解多目标优化问题。目前，在运筹学文献中就广泛地应用各式各样的数学规划方法设法解决多目标优化问题（参见例[52，24]）。然而数学规划方法在解决多目标优化问题时存在一定的局限性。例如，当帕累托最优解集是凹集或断开时，数学规划方法就不能得到一个连续的帕累托前沿甚至求解不出最优解集。其它对多目标函数的可微性和约束性还有所要求。此外，先运行数学规划方法来找出初始点，之后这样类型的搜索通常是要最后的解要尽可能比较接近初始点。因此，数学规划方法很容易受到初始化值的影响，并且，每次数学规划的运行都寻要一个单一的非支配解作为初始化，所以要想得到几个帕累托最优解集集合的元素，就需要设置不同的初始点运行几次[52]。
进化算法（EAs）一直被发现在解决各式各样的（单目标）优化问题上是非常成功的[37，29，66，25]。运用进化算法去解决多目标优化问题好似自然选择如果我们考虑到它们的一些主要特征。进化算法是在一个解集上执行的（称之为“群体”），这样我们确信能找到帕累托最优解集的几个成员向量在进行简单的进化算法运行之后。此外，进化算法也不受帕累托前沿的形状和连续性的影响（例如,它们能轻易处理间断和凹性的帕累托前沿），也不需要任何关于衍生的目标和约束条件。
第一次能够使用进化算法解决多目标优化问题的提示是出现在1967年的一篇博士论文中，但是，论文中并没有形成实际的多目标进化算法（多目标问题是作为单目标问题的重申，是应用遗传算法来解决的）。虽然，自1983年很少提及试图用遗传算法解决多目标优化问题，但在19世纪80年代中期，David Schaffer 被普遍认为是第一个设计出多目标进化算法的人[64,65]。Schaffer方法，也称向量评价遗传算法，被认为是一个简单的应用改变机制的遗传算法。在每一代中，许多子种群依次根据每个目标函数通过选择比例遗传得到。然后这些子种群被混合在一起组成一个新的种群，在此过程中，通常情况下遗传算法都提供交叉和变异算子。向量评价遗传算法存在很多问题，其中重要的一个是执行算法时没有能力保留当中的可行解，多半是高于平均值，但是不存在对于任何一个目标函数来说非常优的解。这些解很可能称为非支配解中的候选解，但在接下的选择方案中不可能都幸存保留下来。
向量评价遗传算法之后，研究人员采用了近几年来其它的简单近似方法，最流行的是线性聚合函数，它把所有目标转化为单一目标，再直接利用进化方法来求解[22，26]。事实上，这个聚合方法就是最古老的数学规划方法，它用于解决多目标优化，自从这个方法在Kuhn-Tuker 条件的非支配解中出现以来[50]。
非线性聚合函数也很流行[77，62，39，4]，但是受到了严厉的批评尽管事实上它们不具备主要的线性聚合方法的限制（即非线性聚合函数通常能够产生非凸的部分帕累托前沿，然而线性聚合函数却不能）。
词典顺序是另外的一种有趣的选择机制。在这种情况下，一个单一的目标（被认为是最重要的）被选择且被优化而没有考虑其它的目标。然后，第二个目标被优化但是没有降低由第一个目标所得到的解的质量。这个过程不断重复于所有目标[34]。词典顺序一直沿用到今天，特别是在应用程序中特定的目标比其它的更重要时（例如[35，36]）。
尽管做了所有这些前期的努力，但是直接掺入帕累托最优概念到进化算法是在David E.Goidberg的种子遗传算法一书中出现，Goidberg建议在最优化问题上，使用非支配的排列和选择转移一个种群取逼近帕累托前沿。这种机制被称为帕累托排序。最基本的想法是通过余下的种群找到一串非支配的帕累托解集合。这些解集被赋予最高等级并在更进一步的争论中被消除掉。另一组帕累托非支配串集被指定保留在种群当中，并被赋予另一最高的等级。这个过程一直持续到所有的种群都得到适当的等级赋值。Goldberg还建议使用小生境方法保证遗传算法在帕累托前沿收敛到一个单一的点上[15]。小生境方法例如适应性共享[38]，将允许遗传算法保持个体值始终在非支配前沿。采用适应性共享机制的基本表述如下：
（4）
这里，表示i和j值的距离，表示小生境范围（或者是小生境极限）。通过使用这个参数，个体i值定义如下：
（5）
M是第i个个体的邻接个体数。
Goldberg在它的程序当中并没有提供一个实际的执行过程，但是在他的书出版以后大多数的多目标进化算法的发展都受到他书中思想的影响。包括向量评价遗传算法，进化多目标优化发展前期，大多数经典多目标进化算法发展起来：
非支配遗传算法（NSGA）[67]，小生境遗传算法（NPGA）[40]，多目标遗传算法（MOGA)[30]。
在这个研究的早期，自从把重点放在介绍和单目标遗传算法比较的新方法以来，很少有报道不同多目标进化算法之间的比较研究的。然而通过对VEGA，NSGA，NPGA，和MOGA之间的比较，都无异议地认为MOGA较优（其它的MOGA也胜过）[10，72]。这些早期的特色就是：设计出简单的算法，但是缺少一种方法来使它们生效以及缺少一个基准使得其他研究人员可以最为参考。大多数情况下，比较都是可视化，很多问题都能够得到解决。
发展初期最显著的一个成果是由Masahiro Tanaka[69]提出的在多目标进化算法中第一个合并所有用户参数的方法。合并所有用户参数已经是称为一个重要话题，在很多多目标优化文献中经常被忽视（甚至在今天也是），但在处理现实问题中这是一个非常重要的应用[9]。通常的情况下,在现实问题中,整个帕累托前沿是没必要的, 仅要一部分就可以了。所以，如果我们知道用户想要什么，这可能就是用户所感兴趣的部分帕累托前沿。
这期间另一个重要的事件就是这个领域中第一个调查报告的发布。Fonseca 和 Fleming在1995年[31]的进化计算文献中发表的调查报告。在这些天，很少有人知道来自Carlos M.Fonseca 的其它两个重要贡献：（1）并不需要帕累托前沿的被提到的第一个工作指标（他称之为“表面成就”）[32]；（2）他第一个提出为处理约束关系的帕累托非支配关系的修正方案[33]。
20世纪90年代末的时候,事情就开始变化并趋势对于进化的多目标优化。然而,这个变化是如此之快,一些在这个领域研究的人员都还没有对多目标优化的知识得到完全的吸收。
在1998年,Eckart Zitzler提出了一种多目标进化算法，称为强度帕累托进化算法(SPEA)[82]。该作品的扩展版于1999年在电气和电子工程师协会上刊登在台湾《进化计算》是[83]。本文是特别重要的,因为它包含了几个因素，它们暗示着一个新时期的到来。首先，SPEA普及了在多目标进化算法的精英概念中的概念。这个非支配解的概念随着进化过程（多目标进化算法的精英概念）已经不是新的了（例如[41，57]）。然而，知道SPEA发表，精英主义概念的使用才变得普遍。在保留非支配解之前发现，SPEA使用存档机制，这也称为外在非支配集。在每个种群中，非支配个体被复制到这个外在非支配集中。在外在集中，每个个体的强度值被计算出来。强度值类似于MOGA中的等级值[30]，因为确定的个体支配值的数目也是成比例的。在SPEA中，每个当前种群个体的适应值都根据所有支配它的外在非支配解计算得出。这个SPEA的适应分配过程被认为既是真实的帕累托前沿的接近，同时是解的分配。因此，不是使用基于距离的小生境，帕累托支配的使用能确保解仅可能分配在帕累托前沿附近。虽然这个方法不要求小生境范围，但它的有效性依赖于外在非支配集的大小。事实上,从外在非支配集参与SPEA的选择机制过程中,如果它的大小增大,可能会降低选择的压力,从而减少搜索。因此，作者们决定采用聚类技术来剪掉外在非支配集的内容来保持它的大小在一个低的限度上[53]。本文SPEA的另一重要方面，是介绍两个指标来进行不同的多目标进化算法的比较。这个使用标准函数测验的想法也在论文中指出（Zitzler采用0/1背包问题）。这个相同的想法是由Kalyanmoy Deb和Zitzler（和其他人员协作）提出的，他们提供了不同的方法论来创建多目标问题的测试函数[13,19,78,20]。
性能测试，毫无疑问，称为进化多目标优化的一个重要话题。因此,我们将讨论下关于他们的发展。在2000年的一篇论文中，Zitzler等总结了三个重要方法的问题，目的时测量多目标优化算法的性能[78]：
1、最大限度地建立帕累托最优集的元素；
2、由关系到全局帕累托前沿的我们的算法来产生帕累托前沿的最小距离；
3、最大限度地展开解集，以致我们能够找到光滑和均匀的向量。
值得注意的是，这几个方面要求我们预先知道真正帕累托前沿的位置。这当然是不可能出现在现实问题中的。另一个有趣的问题是，给出了以上三个方面问题，不可能利用一个简单的性能测试来同时评估这三个问题。换句话说评估多目标进化算法的性能问题也是一个多目标优化问题。
进行性能研究的David A. Van Veldhuizen根据自己的经验得出它们的几个主要弱点[72,74]。几个研究人员意识到大多数性能测试都有偏见。换句话说，有时他们提供的结果不符合我们所能看到的图示结果。讽刺的是，当怀疑应用有用的性能测试得到的数字结果出错时，许多研究人员又回到图形的比较。
尽管速度慢，但研究人员开始提议一个不同的性能测试类型，这次不是考虑一个算法，而是两个[32，83]。这些性能测试被称为二元的（相对于那些需要评估一个单一的算法,称为“一元”）。第一个正式性能测试的研究发表于2002年[47,81]，等下我们当中的几个错误：一元性能测试不能适应于帕累托支配，因此不能可靠地进行评估[81,84]。也不是就没有办法了，二元性能测试就能解决这种限制[80,84]。
我们已经提到过在SPEA中使用外在档案，这使得精英形式很流行。主要动机就是采用这类机制实际上是一类解，它们是当前种群的非支配解，其实也不必要都是非支配解对于还要引申到整个进化算法的所有种群来说。因此，使用这样的机制保证了解决的方案，这个方案我们将想用户报告所有解决方案的非支配情况，并且算法还在进程中。档案是最直观的方法，它保留了所有在MOEA进程中发现的非支配解。如果一个受支配解要进入档案，是不被允许的。相反，如果一个解支配了其它存储的解，那这个解一定要删除掉。然而，在这个外部档案使用中出现几个问题：
1、是否存在主要种群和外在档案的相互作用（也称为“次级种群”）？
2、我们能否能增外在档案的容量？如果这样，当档案的存储满了怎么办？
这些和其它的一些相关的外在档案（也称“精英”档案）的问题已经从理论和实践方面进行了研究[45，28]。
一个有趣的方面是外部档案也作为灵感来开发新多目标进化算法。最著名的例子就是Pareto档案演化策略（PAES）[48]。该算法包括了一个(1 + 1)进化策略(比如，一个单亲产生一个单一的后代)，它相结合了一个历史档案,记录了先前找到的非支配解。这个档案作为参考集合，每个突变的种群个体与之相比较。这个算法有一个有趣的特点，就是利用算法程序来保持多样性，包括拥挤程序，利用递归方法来划分目标空间。每个解都是根据所对应的目标值放置在一定的格子位置（这是作为其“协调”或“地理位置”)，如下图：
保持这样格子的图，注明了解的数量，这些解都定位在相应的格子中。一旦这个程序是适应的，就不再要求额外的参数（除了目标空间的刻度数外）。PAES算法中的适应性格子（采用了一些变异）也被其它一些多目标进化算法所使用（见例[12,11,7]）。
在单目标优化的文献中发现一些灵感，一些研究人员认识到精英策略也可以在多目标进化算法中有限选择使用（从父代和子代的结合中选择）。这里的问题是在多目标进化算法中怎么样利用全局排序（而不是部分排序），这样可以找到一个绝对的等级，因为这个排序的选择是有效的。KalyanmoyDeb和他的学生在非支配遗分类传算法II（NSGA-II）的选择机制中找到一个方法。在非支配分类遗传算法II中，每个解都确定有多少解和这些解的集合支配着它。非支配分类算法II估计了在种群中通过计算每个目标问题的所有点中的两个位置不同的点之间的距离得到的一部分解周围的解的密度。这个值就是所谓的拥挤密度。在选择过程中，非支配分类遗传算法II使用拥挤比较算子来考虑种群中个体的非支配等级和拥挤距离（例如，非支配解优先于支配解来考虑，但是这两个解有相同的非支配等级，处在拥挤距离比较小的解将被优先考虑）。优异其巧妙的机制，非支配分类遗传算法比它的前身更有效，并且它的性能更好，所有在过去的几年中非常流行，通过和其它算法的比较它已经称为了一个具有里程碑意义的多目标进化算法。然而要注意的是，非支配分类遗传算法II有一些可测量性问题（当目标的数量增加时，它的拥挤机制就不能进行也不能被预测到）。
最近，一些研究人员已经提议使用帕累托支配的离散形式作为调节多目标进化算法收敛的方法[49]。Laumanns等人提议多目标进化算法的支配离散形式称为ε支配。这种机制作为存档策略，保证了趋向帕累托最优集的收敛性和解的多样性。这个想法是使用一个集合箱接收帕累托前沿，这个集合箱的大小被自定义参数所定义（称之为ε）。在每个集合箱中，我们仅允许保留一个非支配解（例如，最接近于比较低的边缘值）。因此，通过使用比较大的ε值，能够加快收敛的速度，同时牺牲帕累托前沿的质量。相反，如果要得到高质量的帕累托前沿，就要使用比较小的ε值。那么ε的定义很重要。然而，不能直接找到最合适的ε值，当我们还没有事先知道帕累托前沿的形式时。当然，通过非支配解的数目来得到ε值也是不容易的，而为了得到适当的值，正常的一些初步运行是必要的。没有采用这个观念就很难比较采用多目标进化算法中的ε值来进行比较。最后，利用这种机制自然就消除了帕累托前沿的极端点，这可能会令人不快。
几个近代的多目标进化算法都采用了ε支配(见例[16,55,17,63])。它的局限性也一直在研究着。
很多问题有待解决，但是在过去的十多年里，它们比解决小问题要求更多的时间投入。例如，当我们很难使用多目标进化算法解决多目标问题时，还不知道困难源自哪里。如何处理多目标问题如今也还值得探索。目前一些研究显示，当处理三个或更多的目标问题时，更仔细分析帕累托支配还是很有必要的[59]。
新的算法是可以设计出来的，但是它们需要新的想法，而不是对现有的方法进行小的变动。在当今的研究看来，这是一种常见的模式。这个研究方向（用新观点）的几步一直被应用到多目标进化算法中，是基于它的性能测试（见例[79,27]）。该算法吸收了现代多数算法的功效，将会演化称新的算法，在这个新的算法中，适应函数的数量值降到了最低。这种替代技术的使用是一个可能性的选择（见例[46,44,76]），但不是唯一的（见例[70]），在未来的几年里，预计将会有更多这方面的工作。
参数控制是另一个值得公主的问题。在多目标进化算法中，适应性是一个引起人们注意的话题，很少有研究人员在专业文献中提到（见例[71，1]）。
进化多目标优化领域成立20年后，它仍然看起来像个健康的研究领域。然而，有些东西和10年、15年前使用的不一样了。今天，我们这一领域的建立有必要更多的了解有关性能测试、功能测试和调整性参数的内容。所以，对于新人来说这个领域看起来没有以前那么友好了，但这只是一个成熟的标记。反做来说，我们比以前更需要这种“新人”去改变这个领域的创建，提出新的想法，来使得这个领域长期活跃着。
本文并不打算作为一个调查，而更像是这个领域形成中的很多成果的一个概要。由于篇幅的限制，其它有趣的话题，例如多目标进化算法的应用都被忽略了（见[6]),有跟过这样的话题)。同样，我们也没有提到一些启发式的多目标引申（现在很流行），例如人体免疫系统[5，43]，蚁群分散搜索[21，36]，粒子群优化[8，54]。
然而，本文的目的是激励其他研究人员能对这个领域感兴趣。希望新来者带着不同的研究背景来到这个领域，提出它们的新想法，再结合我们的观点来给该领域设置观念，并且在这个领域的基础上挑战着我们认为富有挑战性的研究话题。
随着越来越多的论文发表在这个领域里，我们看到更多的类推型的工作，却很少看到新观点。我们需要更多的重大贡献和更富挑战性的想法，这样去构造好的趋势让其他人来效仿。
作者感谢来自CONACyT的代号为45683-Y工程的支持。
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