《測圓海鏡》勾股形月地泉之等式補充﹝下﹞
上傳書齋名:瀟湘館112 Xiāo XiāngGuǎn 112
何世強 Ho Sai Keung
提要:《測圓海鏡》之“圓城圖式”含十四勾股形,連同原有之大勾股形共十五勾股形。本文主要談及第5勾股形月地泉相關等式之補充。
關鍵詞:黃長弦、黃長股、黃長勾、月地泉
《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰,書成於 1248 年,時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式,本文介紹其部分等式並作出証明。
本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形,a1、b1、c1 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a1、b1、c1 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。
《測圓海鏡》之〈諸雜名目〉篇涉及一系列之勾股恆等式,所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾,其三邊勾股弦分別以 a1、b1、c1 表之,其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 ai、bi、ci 表之,其中 1 < i ≦ 15。但 ai、bi、ci 均可以 a1、b1、c1 表之,此乃《測圓海鏡》之精髓。注意 ai、bi、ci 滿足勾股定理。
有關以 a1、b1、c1 表 ai、bi、ci 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。
以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。
本文談及之勾股形乃“月地泉”﹝又稱為“黃長”﹞,亦即以下兩圖帶淺紅色之二勾股形,“月地泉”之斜邊為 c5 “月地”是為黃長弦,其直角為 5,以 5 之位置為 “泉”,其勾與股分別為 a4﹝地泉﹞與 b4﹝月泉﹞。筆者有文〈《測圓海鏡》勾股形月地泉﹝5﹞之恆等式說〉,本文是其補充。
注意以下之“月地泉”勾股形之位置:
注意圓徑為 a1 + b1 – c1,見上圖之東南西北圓。
以下為月地泉勾股形之三事﹝三事,三邊之長也﹞:
泉地勾﹝又稱黃長勾﹞:a5 = = (a1 + b1 – c1) 。
月泉股﹝又稱黃長股﹞:b5 = (a1 + b1 – c1) × 2 = a1 + b1 – c1。
其股長是為內容圓之直徑。
月地黃長弦﹝簡稱黃長弦﹞:c5 = (a1 + b1 – c1) 。
月地泉勾股形之三事和或較亦可以以 a1、b1、c1 表之。
以下為與黃長弦﹝勾股形月地泉 (5)﹞有關“五和五較”等式之補充:
前黃長勾股下。其勾股較又為大差勾上少個小差勾也。又為圓徑內少个黃長勾。勾弦共又為兩个底勾。又為大勾與小差勾共。勾弦較又為大差上黃方靣。 股弦共又為兩个邊勾。
以下為各條目之証明:
前黃長勾股下。
意指在黃長弦勾股條之下。
其勾股較又為大差勾上少個小差勾也。
黃長勾股較 = b5 – a5 = (a1 + b1 – c1) –(a1 + b1 – c1)
= (a1 + b1 – c1)(1 –)
= (a1 + b1 – c1)(b1 – a1)
=(b12 – a12 – c1b1 + a1c1)。
已知坤月勾﹝又稱大差勾﹞:a10 = = (c1 – a1) 。
艮地勾﹝又稱小差勾﹞:a11 = a1 – (a1 + b1 – c1) = a1 – a1 – b1 + c1
= c1 – b1。
大差勾上少个小差勾=a10 – a11,
a10 – a11 =(c1 – a1) – (c1 – b1) = (a1c1 – a12 – b1c1 + b12) 。
比較兩式,可知黃長勾股較 = 大差勾上少个小差勾。
又為圓徑內少个黃長勾。
已知圓徑 = a1 + b1 – c1,
圓徑內少个黃長勾 = (a1 + b1 – c1) –(a1 + b1 – c1)
= (a1 + b1 – c1)(1 –)
= (a1 + b1 – c1)(b1 – a1)
=(b12 – a12 – c1b1 + a1c1)。
所以黃長勾股較 = 圓徑 – 黃長勾。
勾弦共又為兩个底勾。
黃長勾弦共 = a5 + c5= (a1 + b1 – c1) + (a1 + b1 – c1)
= (a1 + b1 – c1)(+ )
= (a1 + b1 – c1)(c1 + a1)
= [b1 –(c1 – a1)](c1 + a1)
= [b1c1 + b1a1 – c12 + a12]
= [b1c1 + b1a1 – b12]
= a1 – b1 + c1。
已知北地底勾﹝簡稱底勾﹞:a3 = a1 – (a1 + b1 – c1) = (a1 – b1 + c1) 。
兩個底勾 = 2 ×(a1 – b1 + c1) = a1 – b1 + c1。
所以黃長勾弦共 = 兩個底勾。
又為大勾與小差勾共。
已知小差勾:a11 = a1 – (a1 + b1 – c1) = a1 – a1 – b1 + c1
= c1 – b1。
又已知大勾 = a1,
大勾與小差勾共= a1 + (c1 – b1) = a1 + c1 – b1。
所以黃長勾弦共 = 大勾與小差勾共。
勾弦較又為大差上黃方面。
黃長勾弦較 = c5 – a5+ = (a1 + b1 – c1) – (a1 + b1 – c1)
= (a1 + b1 – c1)(–)
= (a1 + b1 – c1)(c1 – a1)。
大差上黃方面即大差上三事較,即弦和較 = (b10 + a10) – c10 = b10 + a10 – c10。
b10 + a10 – c10 =(c1 – a1) + (c1 – a1) – (c1 – a1)
= (c1– a1)[ 1 + –]
= (c1 – a1)(b1 + a1 – c1) 。
所以黃長勾弦較 = 大差上黃方面。
股弦共又為兩个邊勾。
“股弦共”指黃長股弦和。
黃長股弦和 = b5 + c5= (a1 + b1 – c1) + (a1 + b1 – c1)
= (a1 + b1 – c1)(+ 1)
=(a1 + b1 – c1)(c1 + b1)
=[a1 – (c1 – b1)](c1 + b1)
=(a1c1 + a1b1 – c12 + b12)
=(a1c1 + a1b1 – a12)
= (c1 + b1 – a1)。
已知西川邊勾﹝簡稱邊勾﹞:a2 = (c1 + b1 – a1) 。
兩個邊股= 2 ×(c1 + b1 – a1) = (c1 + b1 – a1)。
所以黃長股弦和 = 兩個邊勾。
以下為《測圓海鏡》原文:
以下為《測圓海鏡細草》原文:
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