《測圓海鏡》之角差及虛差等式說﹝諸差4﹞

《測圓海鏡》之角差及虛差等式說﹝諸差4﹞

上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo XiāngGuǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，其書之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。本文著重十五勾股形之角差及虛差之相關等式。

關鍵詞：極差、旁差、角差、虛差、次差

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立，即
a_i² + b_i² = c_i²。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。

本文主要談及十五勾股形有關三邊相差之等式，其中部分等式曾在“五和五較”等式中出現，可參閱筆者相關之文章。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)²。

本文取自《測圓海鏡‧卷一‧諸差》。筆者有以下文涉及〈諸差〉：

《測圓海鏡》之大差差、小差差等式﹝諸差1﹞

《測圓海鏡》之髙差、旁差、極雙差等式﹝諸差2﹞

《測圓海鏡》之極差等式﹝諸差3﹞

本文乃以上三文之延續。閱讀本文宜注意角差、旁差及次差之定義。

以下為有關“角差”及相關之等式：

角差內加旁差為二髙差。內減旁差即二平差也。內加明

二差併而半之得極差。內減明

二差而半之則虛差也。內加極差則通差。內減極差則虛差也。

以虛差減於明和為明

二股共。以虛差加於

和為明

二勾共也。又副置二和共上加次差而半之即明

二股共。減次差而半之即明

二勾共也。明

二股共以髙差為之較。明

二勾共以平差為之較。

以下為各條目之証明：

角差內加旁差為二髙差。

據《測圓海鏡》所云，“髙股平勾差”是為“角差”。

髙股：b₆ =

(a₁ + b₁ – c₁)，平勾：a₈ =

(a₁ + b₁ – c₁)。

髙股平勾差 = b₆ – a₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

(a₁ + b₁ – c₁)[

–

]

(a₁ + b₁ – c₁)。

以上是為“角差”或稱為“逺差”。

“旁差”又名“傍差”，據《測圓海鏡》所云，“明

二差較”是為傍差。

明差 = b₁₄ – a₁₄ =

(c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[

–

]。

差 = b₁₅ – a₁₅ =

(c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [

–

]。

旁差 = 二差較 = 明差 –

差

(c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[

–

] –

(c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [

–

]

( a₁ +b₁ – c₁)[

–

][(c₁ – a₁) – (c₁ – b₁)]

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

(a₁ + b₁ – c₁) 。

以上之式是為“旁差” 。

角差內加旁差，即：

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

(a₁ + b₁ – c₁)[(b₁ + a₁) + (b₁ – a₁)]

(a₁ + b₁ – c₁) × 2b₁

(b₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁) #。

“髙差”即髙勾髙股差 = b₆ – a₆﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱 7﹞。

髙勾髙股差=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

(a₁ + b₁ – c₁)(

– 1)

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

二髙差= 2 ×

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) =

(b₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁) #。

比較兩式可知相同，所以角差內加旁差 = 二髙差。

內減旁差即二平差也。

本條指角差內減旁差，即：

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

(a₁ + b₁ – c₁)[(b₁ + a₁) – (b₁ – a₁)]

(a₁ + b₁ – c₁) × 2a₁

(b₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁) #。

“平差”指平弦上勾股較。

平弦上勾股較 = b₈– a₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

(a₁ + b₁ – c₁)(1 –

)

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

兩個平差= 2 ×

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) #。

比較兩式，可知角差內減旁差 = 二平差。

內加明

二差併而半之得極差。

據《測圓海鏡》所云，明

二差共名“次差”，又名近差，又名戾﹝音列﹞和。

明差指明勾與明股之差。

明差 = b₁₄ – a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁– c₁ + a₁) –

(c₁ – a₁)(b₁– c₁ + a₁)

(c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[

–

]

(c₁ – a₁)(b₁– c₁ + a₁)(b₁ – a₁) 。

差指

勾與

股之差。

差 = b₁₅ – a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

(c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [

–

]。

二差共 = 明差 +

差

(c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[

–

] +

(c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [

–

]

( a₁ +b₁ – c₁)[

–

](c₁ – a₁ + c₁ – b₁)

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

上式是為次差，故明

二差共得次差。

角差內加次差即角差內加明

二差併，即：

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

(a₁ + b₁ – c₁)[(b₁ + a₁) +(2c₁ – a₁ – b₁)]

(a₁ + b₁ – c₁) × 2c₁。

“半之”即 ×

，即得

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) #。

“極差”指皇極勾股較。

已知皇極勾股較 = b₁₂ – a₁₂=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) #。

比較兩式，可知角差內加明

二差併而半之 = 極差。

內減明

二差而半之則虛差也。

本條指角差內減明

二差併，即：

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

(a₁ + b₁ – c₁)[(b₁ + a₁) – (2c₁ – a₁ – b₁)]

(a₁ + b₁ – c₁) × 2(a₁ + b₁ – c₁)

(a₁ + b₁ – c₁)²。

“半之”即 ×

，即得

(a₁ + b₁ – c₁)² #。

“虛差”指太虛勾股較﹝在勾股形月山泛 13﹞。

太虛勾股較 = b₁₃ – a₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[

–

]

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)

(a₁ + b₁ – c₁)² #。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)²。

所以角差內減明

二差而半之 = 虛差。

內加極差則通差。

“極差”指皇極勾股較﹝在勾股形日川心 12﹞。

已知皇極勾股較 = b₁₂ – a₁₂=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

(a₁ + b₁ – c₁)[

–

]

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

角差內加極差，即：

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[(a₁ + b₁) + c₁]

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(a₁ + b₁ + c₁)

[(a₁ + b₁)²– c₁²](b₁ – a₁)

[a₁² + b₁²+ 2a₁b₁ – c₁²](b₁ – a₁)

(b₁ – a₁) × 2a₁b₁

= b₁ – a₁ #。

上式是為通差。所以角差內加極差 = 通差﹝在勾股形天地乾 1﹞。

內減極差則虛差也。

本條指角差內減極差，即：

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[(a₁ + b₁) – c₁]

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁)

(a₁ + b₁ – c₁)²(b₁ – a₁)

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁) #。

“虛差”指太虛勾股較 =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁) #﹝見前條﹞。

比較答案兩式可知相等，所以角差內減極差 = 虛差。

以虛差減於明和為明

二股共。

已知“虛差”=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)。

“明和”即明弦勾股和 = b₁₄ + a₁₄。

明弦勾股和=

(c₁ – a₁)(b₁– c₁ + a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁– c₁ + a₁)

(c₁ – a₁)(b₁– c₁ + a₁)[

]

(c₁ – a₁)(b₁– c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

以虛差減於明和，即：

(c₁ – a₁)(b₁– c₁ + a₁)(a₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)

(c₁ – a₁)(b₁– c₁ + a₁)(a₁ + b₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)²(b₁ – a₁)

(b₁– c₁ + a₁)[(c₁ – a₁)(a₁ + b₁) – (a₁ + b₁ – c₁)²(b₁ – a₁)]

(b₁– c₁ + a₁)[(c₁ – a₁)(a₁ + b₁) – (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)]

(b₁– c₁ + a₁)[c₁a₁+ c₁b₁ – a₁² – a₁b₁– (b₁² – a₁² – c₁b₁ + c₁a₁)]

(b₁– c₁ + a₁)(c₁a₁+ c₁b₁ – a₁² – a₁b₁– b₁² + a₁²+ c₁b₁ – c₁a₁)

(b₁– c₁ + a₁)(2c₁b₁ – a₁b₁– b₁²)

(b₁– c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁) × b₁

(b₁– c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁) # 。

已知日南股﹝又稱明股﹞：b₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁– c₁ + a₁)。

山東股﹝又稱

股﹞：b₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

明

二股共，即：

(c₁ – a₁)(b₁– c₁ + a₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

(b₁– c₁ + a₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

(b₁– c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

比較兩式，可知以虛差減於明和 = 明

二股共。

以虛差加於

和為明

二勾共也。

已知“虛差”=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)。

“

和”即

弦上勾股和 = b₁₅ +a₁₅ 。

b₁₅ + a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(

)

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) 。

虛差加於

和，即：

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁)

(a₁ – c₁ + b₁)²(b₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁)

(a₁ – c₁ + b₁)[(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁) + (c₁ – b₁)(b₁ + a₁)]

(a₁ – c₁ + b₁)(b₁² – a₁² –c₁b₁ + c₁a₁ + c₁b₁ + c₁a₁ – b₁² – a₁b₁)

(a₁ – c₁ + b₁)(– a₁² + 2c₁a₁ – a₁b₁)

(a₁ – c₁ + b₁)(2c₁ – a₁ – b₁) × a₁

(a₁ – c₁ + b₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

已知南月勾﹝又稱明勾﹞：a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁– c₁ + a₁)。

東川勾﹝又稱

勾﹞：a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

明

二勾共，即：

(c₁ – a₁)(b₁– c₁ + a₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

(a₁ – c₁ + b₁)[(c₁ – a₁) +(c₁ – b₁)]

(a₁ – c₁ + b₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

比較答案兩式，可知相等，所以以虛差加於

和 = 明

二勾共。

又副置二和共上加次差而半之即明

二股共。

本條之“二和共”指明

二和共。

已知“明和”即明弦勾股和 = b₁₄ +a₁₄﹝在勾股形日月南 14﹞，即：

b₁₄ + a₁₄=

(c₁ – a₁)(b₁– c₁ + a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁– c₁ + a₁)

(c₁ – a₁)(b₁– c₁ + a₁)[

]

(c₁ – a₁)(b₁– c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

“

和”即

弦上勾股和 = b₁₅ +a₁₅ ﹝在勾股形山川東 15﹞，即：

b₁₅ + a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(

)

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) 。

明

二和共，即：

(c₁ – a₁)(b₁– c₁ + a₁)(a₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁)

(b₁– c₁ + a₁)(a₁ + b₁)[ (c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)(a₁ + b₁) 。

又已知次差 =

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) 。

二和共上加次差，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)(a₁ + b₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[(a₁ + b₁) + (b₁ – a₁)]

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) × 2b₁

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) 。

“半之”即 ×

，即得

(b₁– c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

已知明

二股共 =

(b₁– c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

比較兩式，可知明

二和共上加次差而半之 = 明

二股共。

減次差而半之即明

二勾共也。

本條指二和共上減次差，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)(a₁ + b₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[(a₁ + b₁) – (b₁ – a₁)]

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) × 2a₁

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) 。

“半之”即 ×

，即得

(b₁– c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

已知明

二勾共 =

(a₁ – c₁ + b₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #﹝見前條﹞。

比較兩式，可知明

二和共上減次差而半之 = 明

二勾共。

明

二股共以髙差為之較。

已知明

二股共 =

(b₁– c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁)﹝見前條﹞。

“髙差”指髙弦上勾股較﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞。

髙弦上勾股較= b₆ – a₆ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

(a₁ + b₁ – c₁)(

– 1)

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

依《測圓海鏡》所云，

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 乃

(b₁– c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁) 式之“較”，含因子 (b₁ – a₁) 之式是為“較”，即將

(b₁– c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁) 式之因子 (2c₁ – a₁ – b₁) 更換成因子 (b₁ – a₁)，有此關係，遂說成

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 乃

(b₁– c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁) 式之“較”。

明

二勾共以平差為之較。

已知明

二勾共 =

(a₁ – c₁ + b₁)(2c₁ – a₁ – b₁)﹝見前條﹞。

“平差”指平弦上勾股較。

平弦上勾股較 = b₈– a₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

(a₁ + b₁ – c₁)(1 –

)

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

依上條之定義，

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 乃

(a₁ – c₁ + b₁)(2c₁ – a₁ – b₁) 式之“較”。

以下為《測圓海鏡細草》原文：

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