转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_729a492301019n8j.html《CRC校验原理与程序设计》
东风汽车有限公司计量测试中心王德宪
内容摘要：
本文介绍了CRC校验的基本概念和计算原理，分别用VC、VB两种编程语言和计算、查表两种方法，给出了求解CRC函数的程序清单，可供有关技术人员学习借用。
关键词：
CRC校验、循环冗余校验、校验原理、程序设计
1．CRC校验原理
1.1 CRC的基本概念：
CRC是英文Cyclical RedundancyCheck的缩写，翻译成中文通常称作循环冗余校验或简称为CRC校验。它是数据传输领域中最常用的一种差错校验方法，其特点是传输数据和CRC校验值的长度可以任意选定。在当今手机、计算机和数码产品普及的信息数字化时代，CRC校验无处不在。CRC分为多种标准，例如：CRC -12码通常用来传送6-bit字符串。CRC-16及CRC-CCITT码则用是来传送8-bit字符，其中CRC-16多为美国采用，而CRC-CCITT多为欧洲国家所采用。而CRC-32码大都被应用在Point-to-Point的同步传输中。更多的CRC校验标准类型参见附表：CRC校验标准类型。
1.2 CRC校验的基本原理：
在代数编码理论中，一个数值可以表示为一个多项式。例如：一个十进制数值2892，可以用多项式表示为2x3 + 8x2 + 9x +2(x=10)。同理，一个二进制数值1010101对应的多项式为x6 + x4 + x2 +1(x=2)。
生成CRC码的基本原理是：设被校验的数据为K位，校验码为R位，码字长度为N(=K+R)，则对于CRC码集中的任一码字，存在且仅存在一个R次多项式g(x)，使得
V(x)=A(x)g(x)=xRm(x) +r(x);
其中: m(x)为被校验数据的K-1次多项式
r(x)为校验码的R-1次多项式
g(x)称为生成多项式：g(x)=g0 + g1x1 + g2x2 +... + g(R-1)x(R-1) + gRxR
发送方通过指定的g(x)计算出CRC校验码，接收方则通过该g(x)来验证收到的CRC校验码。综上所述，一个完整的CRC校验过程是：
发送方：根据要传送的K位原始数据(二进制码序列)，以标准指定的多项式计算出一个R位校验码(CRC码)，附在原始数据后边，构成一个新的二进制码序列共K + R位，然后发送出去。
接收方：将接收到的数据除以与发送方相同的多项式值，如果能够除尽，则正确，否则证明出错。还有另外一种处理，就是接收方用发送方相同的方法计算出接收到数据的CRC校验值，再与发送方发来的校验值比较，相同则正确，否则证明出错。
2.CRC校验码的计算步骤：
例如：有一个要发送的7位二进制数1011001；对应的m(x)=x6 + x4 + x3 +1。设CRC校验码取4位并设g(x)=x4 + x + 1，则该多项式对应的值是10011。根据CRC规则，为保证被除数够除，首先需将要发送的数扩大2R 即24倍(左移4位)，得到10110010000，对应的xRm(x)=x10 + x8 +x7 + x4 。
CRC校验码的生成本质其实就是采用模2除法取余数，该除法的简捷计算就是将除数和被除数按位做异或(相同为0，不同为1。0^0=0; 0^1=1;1^0=1;1^1=0)运算。需要注意的是，进行异或运算时除数必须和被除数最高有效位对齐。下面是将10110010000除以11001手工计算的演示，得到余数为1010，该值即是数据1011001的CRC校验值。
10110010000 将1011001左移4位
10011 多项式值与被除数最高有效位对齐
=00101010000 第1次异或结果
10011 多项式值与被除数最高有效位对齐
=00001100000 第2次异或结果
10011 多项式值与被除数最高有效位对齐
=00000101100 第3次异或结果
10011 多项式值与被除数最高有效位对齐
=00000001010 第4次异或结果
为了简便计算机程序求解CRC，在实际应用中通常把多项式值的最高位舍掉，并且将参加计算的数据高低位颠倒后再计算。前面的演算数据颠倒后的运算情况如下：
00001001101
11001
00001010100
11001
00000110000
11001
00110100000
11001
01010000000
提请注意：只有真正读懂以上手工演算的步骤和规律，才能理解下节内容。
3.CRC校验的程序设计
下面以最常用的CRC-16-IBM校验标准为例来说明CRC校验码的生成过程。 因为CRC-16码由两个字节构成，所以首先要准备一个16位的CRC寄存器，并将每一位都置1。具体的计算步骤为：
① 设置CRC寄存器，并给其赋值FFFFH。
②将被校验数据的第一个字节(8Bit)与CRC寄存器的低8位进行异或，结果存CRC寄存器。
③ CRC寄存器的值向右移一位，最高位(MSB)补零，检查移出的最低位(LSB)是否为1。
④ 如果LSB为0，重复第三步；若LSB为1，CRC寄存器与CRC16多项式值A001H相异或。
⑤重复第③与第④步，直到该字节的8次移位全部完成。
⑥如果被校验数据有多个字节，则重复第②至第⑤步直到所有数据全部处理完。
⑦ 最终CRC寄存器的内容即为CRC值。
3.1 用查表法求CRC函数的程序
查表法省去了将被校验数据移位并与多项式异或计算的步骤，因此比计算法更快捷，但程序编码量偏大。
3.1.1 用VC编写的程序
unsigned short CRC16(puchMsg,usDataLen)
unsigned char * puchMsg ;
unsigned short usDataLen ;
{
unsigned char uchCRCHi= 0xFF ;
unsigned char uchCRCLo= 0xFF ;
unsigned uIndex ;
while (usDataLen--)
{
uIndex = uchCRCLo ^ * puchMsg++ ;
uchCRCLo = uchCRCHi ^ auchCRCLo [uIndex] ;
uchCRCHi = auchCRCHi [uIndex] ;
}
return (uchCRCLo<< 8 | uchCRCHi) ;
}
static char auchCRCHi[] = {
0x00, 0xC0, 0xC1,0x01, 0xC3, 0x03, 0x02, 0xC2, 0xC6, 0x06,
0x07, 0xC7, 0x05,0xC5, 0xC4, 0x04, 0xCC, 0x0C, 0x0D, 0xCD,
0x0F, 0xCF, 0xCE,0x0E, 0x0A, 0xCA, 0xCB, 0x0B, 0xC9, 0x09,
0x08, 0xC8, 0xD8,0x18, 0x19, 0xD9, 0x1B, 0xDB, 0xDA, 0x1A,
0x1E, 0xDE, 0xDF,0x1F, 0xDD, 0x1D, 0x1C, 0xDC, 0x14, 0xD4,
0xD5, 0x15, 0xD7,0x17, 0x16, 0xD6, 0xD2, 0x12, 0x13, 0xD3,
0x11, 0xD1, 0xD0,0x10, 0xF0, 0x30, 0x31, 0xF1, 0x33, 0xF3,
0xF2, 0x32, 0x36,0xF6, 0xF7, 0x37, 0xF5, 0x35, 0x34, 0xF4,
0x3C, 0xFC, 0xFD,0x3D, 0xFF, 0x3F, 0x3E, 0xFE, 0xFA, 0x3A,
0x3B, 0xFB, 0x39,0xF9, 0xF8, 0x38, 0x28, 0xE8, 0xE9, 0x29,
0xEB, 0x2B, 0x2A,0xEA, 0xEE, 0x2E, 0x2F, 0xEF, 0x2D, 0xED,
0xEC, 0x2C, 0xE4,0x24, 0x25, 0xE5, 0x27, 0xE7, 0xE6, 0x26,
0x22, 0xE2, 0xE3,0x23, 0xE1, 0x21, 0x20, 0xE0, 0xA0, 0x60,
0x61, 0xA1, 0x63,0xA3, 0xA2, 0x62, 0x66, 0xA6, 0xA7, 0x67,
0xA5, 0x65, 0x64,0xA4, 0x6C, 0xAC, 0xAD, 0x6D, 0xAF, 0x6F,
0x6E, 0xAE, 0xAA,0x6A, 0x6B, 0xAB, 0x69, 0xA9, 0xA8, 0x68,
0x78, 0xB8, 0xB9,0x79, 0xBB, 0x7B, 0x7A, 0xBA, 0xBE, 0x7E,
0x7F, 0xBF, 0x7D,0xBD, 0xBC, 0x7C, 0xB4, 0x74, 0x75, 0xB5,
0x77, 0xB7, 0xB6,0x76, 0x72, 0xB2, 0xB3, 0x73, 0xB1, 0x71,
0x70, 0xB0, 0x50,0x90, 0x91, 0x51, 0x93, 0x53, 0x52, 0x92,
0x96, 0x56, 0x57,0x97, 0x55, 0x95, 0x94, 0x54, 0x9C, 0x5C,
0x5D, 0x9D, 0x5F,0x9F, 0x9E, 0x5E, 0x5A, 0x9A, 0x9B, 0x5B,
0x99, 0x59, 0x58,0x98, 0x88, 0x48, 0x49, 0x89, 0x4B, 0x8B,
0x8A, 0x4A, 0x4E,0x8E, 0x8F, 0x4F, 0x8D, 0x4D, 0x4C, 0x8C,
0x44, 0x84, 0x85,0x45, 0x87, 0x47, 0x46, 0x86, 0x82, 0x42,
0x43, 0x83, 0x41,0x81, 0x80, 0x40 } ;
static unsigned char auchCRCLo[] = {
0x00, 0xC1, 0x81,0x40, 0x01, 0xC0, 0x80, 0x41, 0x01, 0xC0,
0x80, 0x41, 0x00,0xC1, 0x81, 0x40, 0x01, 0xC0, 0x80, 0x41,
0x00, 0xC1, 0x81,0x40, 0x00, 0xC1, 0x81, 0x40, 0x01, 0xC0,
0x80, 0x41, 0x01,0xC0, 0x80, 0x41, 0x00, 0xC1, 0x81, 0x40,
0x00, 0xC1, 0x81,0x40, 0x01, 0xC0, 0x80, 0x41, 0x00, 0xC1,
0x81, 0x40, 0x01,0xC0, 0x80, 0x41, 0x01, 0xC0, 0x80, 0x41,
0x00, 0xC1, 0x81,0x40, 0x01, 0xC0, 0x80, 0x41, 0x00, 0xC1,
0x81, 0x40, 0x00,0xC1, 0x81, 0x40, 0x01, 0xC0, 0x80, 0x41,
0x00, 0xC1, 0x81,0x40, 0x01, 0xC0, 0x80, 0x41, 0x01, 0xC0,
0x80, 0x41, 0x00,0xC1, 0x81, 0x40, 0x00, 0xC1, 0x81, 0x40,
0x01, 0xC0, 0x80,0x41, 0x01, 0xC0, 0x80, 0x41, 0x00, 0xC1,
0x81, 0x40, 0x01,0xC0, 0x80, 0x41, 0x00, 0xC1, 0x81, 0x40,
0x00, 0xC1, 0x81,0x40, 0x01, 0xC0, 0x80, 0x41, 0x01, 0xC0,
0x80, 0x41, 0x00,0xC1, 0x81, 0x40, 0x00, 0xC1, 0x81, 0x40,
0x01, 0xC0, 0x80,0x41, 0x00, 0xC1, 0x81, 0x40, 0x01, 0xC0,
0x80, 0x41, 0x01,0xC0, 0x80, 0x41, 0x00, 0xC1, 0x81, 0x40,
0x00, 0xC1, 0x81,0x40, 0x01, 0xC0, 0x80, 0x41, 0x01, 0xC0,
0x80, 0x41, 0x00,0xC1, 0x81, 0x40, 0x01, 0xC0, 0x80, 0x41,
0x00, 0xC1, 0x81,0x40, 0x00, 0xC1, 0x81, 0x40, 0x01, 0xC0,
0x80, 0x41, 0x00,0xC1, 0x81, 0x40, 0x01, 0xC0, 0x80, 0x41,
0x01, 0xC0, 0x80,0x41, 0x00, 0xC1, 0x81, 0x40, 0x01, 0xC0,
0x80, 0x41, 0x00,0xC1, 0x81, 0x40, 0x00, 0xC1, 0x81, 0x40,
0x01, 0xC0, 0x80,0x41, 0x01, 0xC0, 0x80, 0x41, 0x00, 0xC1,
0x81, 0x40, 0x00,0xC1, 0x81, 0x40, 0x01, 0xC0, 0x80, 0x41,
0x00, 0xC1, 0x81,0x40, 0x01, 0xC0, 0x80, 0x41, 0x01, 0xC0,
0x80, 0x41, 0x00,0xC1, 0x81, 0x40 } ;
3.1.2 用VB编写的程序
Private Function CRC16(data() As Byte) AsString
Dim CRC16Hi As Byte
Dim CRC16Lo As Byte
CRC16Hi = &HFF
CRC16Lo = &HFF
Dim i As Integer
Dim iIndex As Long
For i = 0 To UBound(data)
iIndex = CRC16Lo Xor data(i)
CRC16Lo = CRC16Hi Xor GetCRCLo(iIndex) ’低位处理
CRC16Hi = GetCRCHi(iIndex) ’高位处理
Next i
Dim ReturnData(1) As Byte
ReturnData(0) = CRC16Hi ’CRC高位
ReturnData(1) = CRC16Lo ’CRC低位
CRC16 = ReturnData
End Function
Function GetCRCHi(Ind As Long) As Byte ’CRC高位字节值表
GetCRCHi = Choose(Ind + 1,_
&H00,&HC0, &HC1, &H01,&HC3, &H03, &H02,&HC2, &HC6,&H06,_
&H07,&HC7, &H05, &HC5,&HC4, &H04, &HCC,&H0C, &H0D,&HCD,_
&H0F,&HCF, &HCE, &H0E,&H0A, &HCA, &HCB,&H0B, &HC9,&H09,_
&H08,&HC8, &HD8, &H18,&H19, &HD9, &H1B,&HDB, &HDA,&H1A,_
&H1E,&HDE, &HDF, &H1F,&HDD, &H1D, &H1C,&HDC, &H14,&HD4,_
&HD5,&H15, &HD7, &H17,&H16, &HD6, &HD2,&H12, &H13,&HD3,_
&H11,&HD1, &HD0, &H10,&HF0, &H30, &H31,&HF1, &H33,&HF3,_
&HF2,&H32, &H36, &HF6,&HF7, &H37, &HF5,&H35, &H34,&HF4,_
&H3C,&HFC, &HFD, &H3D,&HFF, &H3F, &H3E,&HFE, &HFA,&H3A,_
&H3B,&HFB, &H39, &HF9,&HF8, &H38, &H28,&HE8, &HE9,&H29,_
&HEB,&H2B, &H2A, &HEA,&HEE, &H2E, &H2F,&HEF, &H2D,&HED,_
&HEC,&H2C, &HE4, &H24,&H25, &HE5, &H27,&HE7, &HE6,&H26,_
&H22,&HE2, &HE3, &H23,&HE1, &H21, &H20,&HE0, &HA0,&H60,_
&H61,&HA1, &H63, &HA3,&HA2, &H62, &H66,&HA6, &HA7,&H67,_
&HA5,&H65, &H64, &HA4,&H6C, &HAC, &HAD,&H6D, &HAF,&H6F,_
&H6E,&HAE, &HAA, &H6A,&H6B, &HAB, &H69,&HA9, &HA8,&H68,_
&H78,&HB8, &HB9, &H79,&HBB, &H7B, &H7A,&HBA, &HBE,&H7E,_
&H7F,&HBF, &H7D, &HBD,&HBC, &H7C, &HB4,&H74, &H75,&HB5,_
&H77,&HB7, &HB6, &H76,&H72, &HB2, &HB3,&H73, &HB1,&H71,_
&H70,&HB0, &H50, &H90,&H91, &H51, &H93,&H53, &H52,&H92,_
&H96,&H56, &H57, &H97,&H55, &H95, &H94,&H54, &H9C,&H5C,_
&H5D,&H9D, &H5F, &H9F,&H9E, &H5E, &H5A,&H9A, &H9B,&H5B,_
&H99,&H59, &H58, &H98,&H88, &H48, &H49,&H89, &H4B,&H8B,_
&H8A,&H4A, &H4E, &H8E,&H8F, &H4F, &H8D,&H4D, &H4C,&H8C,_
&H44,&H84, &H85, &H45,&H87, &H47, &H46,&H86, &H82,&H42,_
&H43,&H83, &H41, &H81,&H80, &H40)
End Function
Function GetCRCLo(Ind As Long) As Byte ’CRC低位字节值表
GetCRCLo = Choose(Ind + 1,_
&H00,&HC1, &H81, &H40,&H01, &HC0, &H80,&H41, &H01,&HC0,_
&H80,&H41, &H00, &HC1,&H81, &H40, &H01,&HC0, &H80,&H41,_
&H00,&HC1, &H81, &H40,&H00, &HC1, &H81,&H40, &H01,&HC0,_
&H80,&H41, &H01, &HC0,&H80, &H41, &H00,&HC1, &H81,&H40,_
&H00,&HC1, &H81, &H40,&H01, &HC0, &H80,&H41, &H00,&HC1,_
&H81,&H40, &H01, &HC0,&H80, &H41, &H01,&HC0, &H80,&H41,_
&H00,&HC1, &H81, &H40,&H01, &HC0, &H80,&H41, &H00,&HC1,_
&H81,&H40, &H00, &HC1,&H81, &H40, &H01,&HC0, &H80,&H41,_
&H00,&HC1, &H81, &H40,&H01, &HC0, &H80,&H41, &H01,&HC0,_
&H80,&H41, &H00, &HC1,&H81, &H40, &H00,&HC1, &H81,&H40,_
&H01,&HC0, &H80, &H41,&H01, &HC0, &H80,&H41, &H00,&HC1,_
&H81,&H40, &H01, &HC0,&H80, &H41, &H00,&HC1, &H81,&H40,_
&H00,&HC1, &H81, &H40,&H01, &HC0, &H80,&H41, &H01,&HC0,_
&H80,&H41, &H00, &HC1,&H81, &H40, &H00,&HC1, &H81,&H40,_
&H01,&HC0, &H80, &H41,&H00, &HC1, &H81,&H40, &H01,&HC0,_
&H80,&H41, &H01, &HC0,&H80, &H41, &H00,&HC1, &H81,&H40,_
&H00,&HC1, &H81, &H40,&H01, &HC0, &H80,&H41, &H01,&HC0,_
&H80,&H41, &H00, &HC1,&H81, &H40, &H01,&HC0, &H80,&H41,_
&H00,&HC1, &H81, &H40,&H00, &HC1, &H81,&H40, &H01,&HC0,_
&H80,&H41, &H00, &HC1,&H81, &H40, &H01,&HC0, &H80,&H41,_
&H01,&HC0, &H80, &H41,&H00, &HC1, &H81,&H40, &H01,&HC0,_
&H80,&H41, &H00, &HC1,&H81, &H40, &H00,&HC1, &H81,&H40,_
&H01,&HC0, &H80, &H41,&H01, &HC0, &H80,&H41, &H00,&HC1,_
&H81,&H40, &H00, &HC1,&H81, &H40, &H01,&HC0, &H80,&H41,_
&H00,&HC1, &H81, &H40,&H01, &HC0, &H80,&H41, &H01,&HC0,_
&H80,&H41, &H00, &HC1,&H81, &H40)
End Function
3.2 用计算法求CRC函数的程序
计算法的优点是程序编码量小，虽然比查表法速度偏慢，但当被校验的数据量不大时并不明显。
3.2.1 用VC编写的程序
unsigned short CRC16(unsigned char buf[], intn)
{
unsigned short crc = 0xffff ;
for(i = 0; i < n; i++)
{
crc ^ = buf[i] ;
for(b = 0; b < 8; b++)
{
boolf = crc & 1 ;
crc >> = 1 ;
if(f)
crc ^ = 0xa001 ;
}
}
return(crc) ;
}
3.2.2 用VB编写的程序
Function CRC16(Data() As Byte, No As Integer,CRC16Lo As Byte, CRC16Hi As Byte) As String
DimCL As Byte, CH As Byte, SaveLo As Byte, SaveHi As Byte
CRC16Hi = &HFF '为16位CRC校验寄存器赋初始值 FFFF
CRC16Lo = &HFF
CH= &HA0 '为16位CRC校验多项式赋初始值 A001
CL= &H1
Fori = 1 To No
CRC16Lo = CRC16Lo Xor Data(i - 1) '每一个数据与CRC寄存器进行异或
For j = 1 To 8
SaveHi = CRC16Hi
SaveLo = CRC16Lo
CRC16Hi = CRC16Hi \ 2 '高位右移一位
CRC16Lo = CRC16Lo \ 2 '低位右移一位
If ((SaveHi And &H1) = &H1)Then '如果高位字节最右一位为1
CRC16Lo = CRC16Lo Or &H80 '则低位字节最左一位补1，否则自动补0
End If
If ((SaveLo And &H1) = &H1)Then '如低位字节最右一位为1，则与多项式值异或
CRC16Hi = CRC16Hi Xor CH
CRC16Lo = CRC16Lo Xor CL
End If
Next j
Next i
End Function
参考文献：
① GB/T 19582.1-2008《基于Modbus协议的工业自动化网络规范》
②《Modbus协议中文版》 可在互联网上下载
附表： CRC校验标准类型
CRC校验名
多 项 式 (标准引用名)
对应的16进制值或反值注：已去掉最高位的1
CRC-1
x + 1 (most hardware; also known asparity bit)
01 或 01 (01)
CRC-4-ITU
x4 + x + 1 (ITUG.704, p. 12)
03 或 0C (09)
CRC-5-ITU
x5 + x4+ x2 + 1 (ITU G.704, p. 9)
15 或 15 (1A)
CRC-5-USB
x5 + x2+ 1 (USB token packets)
05 或 14 (12)
CRC-6-ITU
x6 + x + 1 (ITUG.704, p. 3)
03 或 30 (21)
CRC-7
x7 + x3+ 1 (telecom systems, MMC,SD)
09 或 48 (44)
CRC-8-ATM
x8 + x2+ x + 1 (ATM HEC)
07 或 E0 (83)
CRC-8-CCITT
x8 + x7+ x3 + x2 + 1 (1-Wirebus)
8D 或 B1 (C6)
CRC-8-Dallas/Maxim
x8 + x5+ x4 + 1 (1-Wire bus)
31 或 8C (98)
CRC-8
x8 + x7+ x6 + x4 +x2 + 1
D5 或 AB (EA)
CRC-8-SAE J1850
x8 + x4+ x3 + x2 + 1
1D 或 B8 (8E)
CRC-10
x10 + x9+ x5 + x4 + x +1
233 或 331 (319)
CRC-11
x11 + x9+ x8 + x7 + x + 1(FlexRay)
385 或 50E (5C2)
CRC-12
x12 +x11 + x3 + x2+ x + 1 (telecom systems )
80F 或 F01 (C07)
CRC-15-CAN
x15 +x14 + x10 +x8 + x7 + x4+ x3 + 1
4599 或 4CD1 (62CC)
CRC-16-Fletcher
Not a CRC; see Fletcher'schecksum
Used in Adler-32 A &B CRCs
CRC-16-CCITT
x16 +x12 + x5 + 1 (CRC-CCITT, G.hnPHY headers, 802.15.4, X.25, V.41, CDMA, Bluetooth, XMODEM,HDLC,PPP, IrDA, BACnet, MMC,SD)
1021 或 8408 (8810)
CRC-16-DNP
x16 +x13 + x12 +x11 + x10 +x8 + x6 + x5+ x2 + 1 (DNP, IEC 870, M-Bus)
3D65 或 A6BC (9EB2)
CRC-16-IBM
x16 +x15 + x2 + 1 (CRC-16, SDLC,USB, many others)
8005 或 A001 (C002)
CRC-24-Radix-64
x24 +x23 + x18 +x17 + x14 +x11 + x10 +x7 + x6 + x5+ x4 + x3 + x + 1(FlexRay)
864CFB 或 DF3261(C3267D)
CRC-30
x30 +x29 + x21 +x20 + x15 +x13 + x12 +x11 + x8 + x7+ x6 + x2 + x + 1(CDMA)
2030B9C7 或 38E74301(30185CE3)
CRC-32-Adler
Not a CRC; see Adler-32
See Adler-32
CRC-32-IEEE 802.3
x32 +x26 + x23 +x22 + x16 +x12 + x11 +x10 + x8 + x7+ x5 + x4 +x2 + x + 1 (V.42, MPEG-2, PNG [10], POSIXcksum)
04C11DB7 或 EDB88320(82608EDB)
CRC-32C (Castagnoli)
x32 + x28 +x27 + x26 + x25 + x23 +x22 + x20 + x19 + x18 +x14 + x13 + x11 + x10 +x9 + x8 + x6 + 1 (G.hnpayload)
1EDC6F41 或 82F63B78(8F6E37A0)
CRC-32K (Koopman)
x32 +x30 + x29 +x28 + x26 +x20 + x19 +x17 + x16 +x15 + x11 +x10 + x7 + x6+ x4 + x2 + x +1
741B8CD7 或 EB31D82E(BA0DC66B)
CRC-64-ISO
x64 + x4+ x3 + x + 1 (HDLC-ISO 3309)
000000000000001B 或 D800000000000000(800000000000000D)
CRC-64-ECMA-182
x64 + x62 +x57 + x55 + x54 + x53 +x52 + x47 + x46 + x45 +x40 + x39 + x38 + x37 +x35 + x33 + x32 + x31 +x29 + x27 + x24 + x23 +x22 + x21 + x19 + x17 +x13 + x12 + x10 + x9 +x7 + x4 + x + 1 (As described in ECMA-182p.51)
42F0E1EBA9EA3693 或 C96C5795D7870F42(A17870F5D4F51B49)
