界面上的世界之毛巾永动机
云无心 发表于 2008-05-18 10:50
当我们把一条干毛巾的一端浸在水里，水会沿着毛巾往上走。那么，可不可以利用这个现象把水从低处吸到高处，然后收集起来呢？如果可以的话，就可以让高处的水流下来发电，然后再沿着毛巾爬上去。如此往复，不用外加能源，可以源源不断地发电了。实际上这是历史上一个永动机的设想，当然是不能成功。我们自然会问：水的确是爬到了高处，为什么就不能被收集起来呢？
让我们先来看一个熟悉的实验：把一根细玻璃管插到水里，水会沿着玻璃管上升，管子越细，水爬得越高。我们知道当管子中的水不流动的时候，各处的压强是平衡的。所以，图I中B点的压强应该和A点的相同，否则水就会从压强高的点流到压强低的点。而A点是与空气相接触的水面，压强应该和空气压强相同。D点是和大气相连通的空气，压强也应该和A点相同。而挨着D点的水里的C点，其压强加上上升的那段水产生的压强，才应该等于B点压强。绕了这么一圈，一个有趣的结论产生了：D 点的压强比C点的要高！
同是与空气挨着的水中的点，为什么C点的压强比空气中的高，而A点的和空气中一样呢？如果我们仔细看A点和C点的液面，会发现A点的液面是平的，而C点的液面是凹的。在前面有一篇里讲到过，在固体、液体和气体共同存在的地方，液体和气体会去竞争占领固体表面，最后妥协的结果就是形成一个接触角。对于干净的玻璃管来说，接触角几乎为零，水在竞争中占据绝对优势，所以会往上爬。但是水自身的重力又拖住它往下跑。所以，靠近管壁的水分子，在表面张力的作用下往上爬；而远离管壁的分子，被重力拖着往下走，重力和表面张力妥协平衡的结果，就在管内形成了一个凹的液面。
除此以外，我们找不到这两个点的液面在其它方面的差异，于是我们可以猜想：当液面往下凹的时候，空气一方的压强是不是会比液体一边要大呢？
最初是一个叫托马斯.杨的聪明人很完善地解释了这个现象，上面的猜想确实是对的。于是，新的问题就产生了：C点和D点的压强相差多少？由什么决定呢？托马斯.杨不喜欢数学，没有从数学上解决这个问题。多年以后，一个叫拉普拉斯的家伙运用他深厚的数学功力从数学上推出了上面的结论，并且给出了一个公式来计算凹面两边的压强差。那是一个非常赏心悦目的推导，所用的物理基础只是表面张力的定义和功与能之间可以转换，差不多是初中物理的内容了，而数学知识也不超过我们今天的高中水平。那个证明只有一幅示意图，加半页纸。结论看起来很简单，对于一个各个方向一样的曲面来说，内外压强差等于表面张力的2倍除以曲面的半径；如果曲面不规则的话，形式稍微复杂一点。这个公式差不多是界面科学上最重要的公式了。本来托马斯.杨完全有机会独占这个成果，可惜由于数学知识上的缺陷而把机会让给了拉普拉斯。如果托马斯.杨知道后人把这个公式叫做杨-拉普拉斯公式，甚至直接叫做拉普拉斯公式的话，会不会感到“人生最大的遗憾莫过于此”，“如果上天给我再来一次的机会，我一定会说：要学好数学！”
好了，前人栽好了树，我们就来乘凉了，我们来看看那个公式能告诉我们什么：
首先，我们来计算水能够爬多高。因为曲面产生的压强完全用来把水吸到高处，所以那个压强就等于上升的水柱产生的压强。水柱的压强在初中物理里有，等于水的密度乘以重力加速度乘以高度，而曲面产生的压强由拉普拉斯公式得出（表面张力的2倍除以曲面半径，当玻璃管洗得很干净的时候，曲面半径接近于玻璃管的半径）。除了水柱高度不知道以外，上面提到的数都是已知的。让两个压强相等很容易算出水柱高度。比如说，对于一根直径为1毫米的管子，水可以爬到29毫米左右；如果管子直径只有0.1毫米的话，水就可以爬到290毫米左右的高度。
然后，我们从公式中可以看到，曲面半径越大，曲面压强就越小，当曲面越来越平，最后变成平面的时候，曲面压强就为零了。再进一步，如果平面变成了凸面，是不是水那侧的压强就会大于空气那一侧呢？答案是肯定的。在生活中不容易直接观察到，但是用仪器可以很容易地测量出来，而且压强的数值跟拉普拉斯公式算出来的一样。这个现象可以用水银观察到，如果我们把玻璃管插到水银中，水银在管中的液面是凸的，相应的水银不但不能往上爬，反而会往下钻。
现在，让我们来总结一下上面所说的：当水和空气的界面是凹的时候，水一侧的压强比空气的小；当界面是凸的时候，水一侧的压强比空气中的大；曲面产生的压强可以由拉普拉斯公式算出来。
有了上面的知识，我们可以来分析毛巾吸水的问题了。从微观结构来说，毛巾是许许多多的毛细管组成的。这些毛细管粗细不一，互相连接。尽管如此，在吸水的时候遵循的还是毛细管的自然规律。为了简化分析，我们用一根毛细管来代表毛巾，下面是吸水的几种情况：
一、 毛细管很长，水上升不到毛细管口，上升高估由拉普拉斯公式决定，如图I。这种情况下自然能吸水，但是流不出来。
二、 毛细管比拉普拉斯公式算出来的水柱要短，这种情况下水爬到管口时叶面会变得“平坦”，实际的曲面半径要大于毛细管半径，拉普拉斯公式中的半径要用实际半径，所以水爬到管口实现压强平衡，也不会流出来。如图II。
三、 毛细管弯过来，管口高于水平面。这种情况下管口仍然是凹向水面，实际曲面半径比毛细管半径大，压强平衡的情况跟图II相同，水也不会流出来。如图III。
四、 毛细管弯过来，管口低于水平面一些。这时液面是凸的，只要液面差产生的压强不超过拉普拉西公式算出来的压强，液面就会呈现比毛细管半径大的曲面而实现压强平衡。这种情况下，水也不会流出，如图IV。
五、 毛细管弯过来，管口大大低于水平面，拉普拉斯公式算出来的压强小于液面差产生的压强，管口的液面无论如何无法实现压强平衡，水只能往下掉，如图V。
在以前谈到太空里的一团水呈现什么形状的时候，是从分子运动的角度来解释的。应用拉普拉斯公式，和水会从压强高的位置流到压强低的位置的原理（注意太空里没有重力），可以从宏观上来分析水的流动，也能得出不管水起始于什么状态，最后都会成为球形的结论。
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