y=(1+1/x)^x的性质(一)

1、（x＞0）f(x)=(1+1/x)^x是增凹函数（已证）。

2、f(0)=1、f(1)=2、f(∞)=e（自然底数）。

3、f′(0)=∞、f′(1)=2ln2-1≈0.3863、f′(∞)=0。

4、f(x)与线性函数的关系(A)——通过两点（0，1）、（1，2）

（1）线性函数g(x)=[(b+2c)x+b]/(cx+b).

（2）b=0，g(x)=2为常函数。c=0，g(x)=x+1为直线。

（3）限于研究二者之间的增凹函数：b＞0、c＞0。

        设b=1， g′(x)=(1+c)/(cx+1)²、g′(1)=1/(c+1)。

5、先讨论(0＜x＜1)的情况：设k=2(1-ln2)/(2ln2-1)≈1.5887

（1）当c接近∞时，g(x)与f(x)在(0＜x＜1)内，只有一个交点。

（2）当c＞k时，g(x)与f(x)在(0＜x＜1)内，有一个交点。

（3）当c=k时，g(x)与f(x)在(0＜x＜1)内，无交点。否则，不符合连续原理。

（4）当c＜k时，g(x)与f(x)在(0＜x＜1)内，无交点。

6、y=[(1+2c)x+1]/(cx+1)的渐近线：y=2+1/c、x=-1/c.

当渐近线为y=e时，g(x)=(ex+e-2)/(x+e-2)，c=1/(e-2)≈1.3922。