最简幂级数的解析开拓

一、最简幂级数的原始定义：

                  Φ(z)=∑(n=0…∞)zⁿ.

（1）│z│＜1：收敛  Φ(z)=1/(1-z).  （开拓表达式）

（2）│z│=1且z≠1：不定发散.

（3）│z│＞1或z=1：定发散.

（4）有的级数存在没有使用收敛条件的非开拓表达式.

（5）大部分的收敛级数并不存在其收敛表达式，只能用原级数表示。

二、最简幂级数的倒级数：

      令  g(z)=1/Φ(z)=∑(n=0…∞)anzⁿ.

      将g(z)Φ(z)展开得：

          g(z)Φ(z)=a0+(a0+a1)z+(a0+a1+a2)z²+……+(a0+a1+…+an)zⁿ(n→∞).

      由g(z)Φ(z)≡1得：a0=1、a1=-1、a02=a3=……=an=0.

      即   g(z)=1-z.

（1）说明发散级数没有恒等性质和展开性质.

（2）发散级数只能整体运算，不能解体运算。

三、最简幂级数的解析开拓：

       Φ(z)=1/(1-z).  （一阶极点：z=1）

（1）级数的解析开拓有多种方法：直接开拓法、性质开拓法等。

（2）解析开拓的函数是唯一的。

四、最简幂级数的加法定理：

        1/Φ(x+y)= -1+1/Φ(x)+1/Φ(y).

五、最简幂级数的函数方程：

（1）Φ(1/z)=-zΦ(z).

（2）Φ(1/z)+Φ(z)=1.

六、最简幂级数的基本性质：

（1）导数性质：1/(1-z)^k+1=∑(n=0…∞)C(n+k,k)zⁿ     

                         其中C(n+k,k)=(n+k)!/[k!n!]

（2）积分性质：-ln(1-z)=∑(n=1…∞)(1/n)zⁿ     

七、最简幂级数的统一定义式：

      Φ(z)=lim(N→∞)[∑(n=0…N)zⁿ-z^N+1/(z-1)].

（1）当│z│＜1时，还原为原始级数.

（2）此种表示法，是解决级数不存在其收敛表达式的主要开拓方法。