定积分的发散变换之分析

一、收敛积分的发散变换是同解变换的例子：

（1）高斯积分公式：

普西函数ψ(z)=∫(0,1)[-1/lnt-t^z-1/(1-t)]dt（ReZ＞0）

（2）狄利克莱积分公式的发散变换：

          ψ(z)=∫(0,∞)[e^-x-(1+x)^-z]x^-1dx（ReZ＞0）

                =∫(0,∞)e^-xx^-1dx-∫(0,∞)(1+x)^-zx^-1dx

在第一个发散积分中，令e^-x=t； 在第二个发散积分中，令1/(1+x)=t。即得高斯积分公式。

二、收敛积分的发散变换不是同解变换的例子：

      A=∫(0,∞)[t^a/(e^t+1)]dt  （0＞a＞-1，该积分收敛）

        =∫(0,∞)[t^a/(e^t-1)]dt-2∫(0,∞)[t^a/(e^2t-1)]dt 

在第一个发散积分中，令t=x； 在第二个发散积分中，令2t=x。即得

       A=(1-2^-a)∫(0,∞)[x^a/(e^x-1)]dx（0＞a＞-1，该积分发散）

三、分析：

（1）收敛积分的发散变换是同解变换的必要条件：收敛补项函数的积分=0

（2）ψ(z)=∫(0,∞)[e^-x-(1+x)^-z]x^-1dx（ReZ＞0）

               =∫(0,∞)(e^-x-1/2)x^-1dx-∫(0,∞)[(1+x)^-z-(1+x)^-1]x^-1dx+∫(0,∞)[(1/2)x^-1-(1+x)^-1x^-1]dx

收敛补项函数的积分=∫(0,∞)[(1/2)x^-1-(1+x)^-1x^-1]dx

                                =(ε→+0)∫(ε,1/ε)[(1+x)^-1-(1/2)x^-1]dx=0

（3）从原则上讲，收敛积分不能进行发散变换

（4）A=∫(0,∞)[t^a/(e^t+1)]dt  （0＞a＞-1，该积分收敛）

           =∫(0,∞)t^a[1/(e^t-1)-1/t]dt-2∫(0,∞)t^a[1/(e^2t-1)-1/(2t)]dt 

在第一个收敛积分中，令t=x； 在第二个收敛积分中，令2t=x。即得

       A=(1-2^-a)∫(0,∞)x^a[1/(e^x-1)-1/x]dx

四、发散变换的分类：

（1）分项发散变换：拆分被积函数（一般情况非同解）

（2）分段发散变换：拆分积分区间（“倒元变换”是同解）

 

 

五、李氏定理：

       对于“一类不定型广义积分”，只有采用分段式的“倒元变换”，才不会在数学运算变换中出现矛盾(即数学危机)。(“倒元变换”是计算“不定型广义积分”的专用词汇)

 

 七种不定型：

（1）一类不定型：0/0、∞/∞、0×∞

（2）二类不定型：0⁰、∞⁰、1^∞（取对数，变为一类不定型）

（3）三类不定型：     ∞-∞   （取指数，变为一类不定型）

 

 

积分发散的分类：

（1）定发散：积分值为∞

（2）不定发散：积分值不固定（其中有一类“不定型广义积分”）

不定型广义积分的两个例子：

（1）A=∫(0,∞)[(2x)^-1-(1+x)^-1]dx

           =∫(0,1)[(2x)^-1-(1+x)^-1]dx+∫(1,∞)[(2x)^-1-(1+x)^-1]dx(倒元变换)

           =∫(0,1)[(2x)^-1-(1+x)^-1]dx-∫(0,1)[(2x)^-1-(1+x)^-1]dx

           =0

（2）γ=∫(0,∞)(1/2-e^-x)x^-1dx

          =∫(0,1)(1/2-e^-x)x^-1dx+∫(1,∞)(1/2-e^-x)x^-1dx(倒元变换)

          =∫(0,1)(1/2-e^-x)x^-1dx+∫(0,1)(1/2-e^-1/x)x^-1dx

          =∫(0,1)(1-e^-x-e^-1/x)x^-1dx=欧拉常数

             
 不定型广义积分的分类：

（1）一类不定型广义积分： ∫(0,∞)f(x)dx=(ε→+0)∫(ε,1/ε)f(x)dx

（2）二类不定型广义积分：∫(a,b)f(x)dx=(ε→+0)[∫(a,c-ε)f(x)dx+∫(c+ε,b)f(x)dx]

（3）三类不定型广义积分：∫(a,b)f(x)dx=(ε→+0)∫(a+ε,b-ε)f(x)dx