余割积分公式

（一）公式一：（k为正整数）

(1/k!)∫(0,π/2)(x^k/sinx)dx

=(2-2^-k)ζ(k+1)cos(kπ/2)+2∑(n=1…∞)(-1)^n-1ε(2n)(π/2)^k+1-2n/(k+1-2n)!

（二）公式二：（k为正整数）

(1/k!)∫(0,π)[x^k(π-x)/sinx]dx

=(2π-2^-kπ)ζ(k+1)cos(kπ/2)+(k+1)(2-2^-k-1)ζ(k+2)sin(kπ/2)

    +∑(n=1…∞)(-1)^n-1(2n)(2-2^-2n)ζ(2n+1)(π)^k+1-2n/(k+1-2n)!

（三）公式三：（k为正整数）

(1/k!)∫(0,π)[x^k(π-x)^k/sinx]dx

=2∑(n=0…∞)(-1)ⁿ(2-2^2n-2k)ζ(2k-2n+1)[(2k-2n)!/(k-2n)!](π)²ⁿ/(2n)!

（四）公式四：（k为正整数）

(2^k/k!)∫(0,π/2)(x^k/tanx)dx

=∑(n=0…∞)(-1)ⁿ[π^k-2n/(k-2n)!]η(2n+1)+……

 

（五）tan(x/2)=1/sinx -1/tanx

          cot(x/2)=1/sinx+1/tanx

 

 

（六）证明法：

（1）复变函数法

（2）三角级数法

（3）倍弦无穷法

（4）分式级数法

（5）二重积分法