超越方程(X＞0)X^x=a的解

一、当a≥1时，

       方程(X＞0)X^x=a只有一解；

 

二、当(1/e)^1/e＜a＜1时，(e为自然底数)

       方程(X＞0)X^x=a有两解：（参数解）

                X1=t^1/(1-t)=Li(t)

                X2=t^t/(1-t)=Li(1/t)

（1）特例：当a=(1/2)√2 时，X1=1/2，X2=1/4.

（2）性质：Li(1/t)=(1/t)Li(t)=[Li(t)]^t

（3）推导：令c=b^t，b^b=c^c=b^{tb^t}，得b=tb^t，即b=X1、c=X2

（4）图象：y=x^x（勾线），y=x^1/x（枪线）。

 

三、当a=(1/e)^1/e≈0.6922 时，

         方程(X＞0)X^x=a只有一解：X=1/e

 

四、当a＜(1/e)^1/e 时，

        方程(X＞0)X^x=a无解。