伯努利数与欧拉数

（一）伯努利数Bn(0)：（代数形式）

            t /(e^t-1)=∑(n=0…∞)[Bn(0)/n!]tⁿ.

            B0(0)=1、B1(0)=-1/2、B2(0)=1/6，

           当n≥1时，B2n+1(0)=0、 (-1)^n-1B2n(0)＞0.

 

（二）伯努利多项式Bn(x)：

           Bn(x)=∑(k=0…n)C(n,k)Bk(0)x^n-k.

          其中，C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]

 

（三）欧伯数Bn(1/2)与Bn(0)的关系式：

           Bn(1/2)=(2^1-n-1)Bn(0)

 

（四）小欧拉数En(0)：

           2/(e^t+1)=∑(n=0…∞)[En(0)/n!]tⁿ.

 

（五）欧拉多项式En(x)：

           En(x)=∑(k=0…n)C(n,k)En(0)x^n-k.

 

（六）小欧拉数En-1(0)与Bn(0)的关系式：

           En-1(0)=(2/n)(1-2ⁿ)Bn(0)

 

（七）伯努利数的算术形式：

            Bn=｜B2n(0)｜=(-1)^n-1B2n(0)

 

（八）新伯数的定义：（代数形式）（新伯数实际上就是小欧拉数）

           Dn=(2ⁿ/n)(1-2ⁿ)Bn(0)=2^n-1En-1(0)

 

（九）新伯数的算术形式：

           Cn=｜D2n｜=(-1)ⁿD2n

           C1=1、C2n的个位是2、C2n+1的个位是6.

 

（十）欧拉数的定义：（代数形式）

           Fn=2ⁿEn(1/2)

           F2n-1=0、      (-1)ⁿF2n＞0

（十一）欧拉数的算术形式：

          En=｜F2n｜=(-1)ⁿF2n=(-4)ⁿE2n(1/2)

          E0=1、E2n的个位是5、E2n-1的个位是1.

 

（十二）求欧拉数的通式：

         ∑(k=0…n)(-1)^kC(2n,2k)Ek=C(0,n)

（十三）求新伯数的通式：

         ∑(k=1…n)(-1)^kC(2n-1,2k-1)Ck=-1