有关定轴转动惯量与惯性积的定理公式

一、转动惯量的平移定理：

            I=I0+d²m

其中，m为物体质量，I0为通过物体质心的某定轴转动惯量，I为与I0转轴平行且相距d的定轴转动惯量。

二、惯性积的平移定理：

         J'xy=Jxy+x1y1m

       J'xz=Jxz+x1z1m

       J'yz=Jyz+y1z1m

其中，Jxy、Jxz、Jyz为空间直角坐标系原点在物体质心的三个惯性积，J'xy、J'xz、J'yz为将坐标系原点从质心平移到(x1，y1，z1)的三个惯性积。

三、转动惯量的不等式：

        0＜Ix ≤ Iy+Iz、 0＜Iy ≤ Ix+Iz、 0＜Iz ≤ Ix+Iy

其中，Ix、Iy、Iz分别是物体以三个坐标轴为转轴的转动惯量。对非线段物体，只有一个等号有可能成立。

四、惯性积的取值范围：

1、三个惯性积的一次不等式：

       |Jxy|＜(Iz)/2、 |Jxz|＜(Iy)/2、 |Jyz|＜(Ix)/2

2、当三个惯性积“三非正”或“一非正二非负”时，还有以下条件：

     |Jxy|+|Jxz|+|Jyz|＜(Ix+Iy+Iz)/4

3、三个惯性积的二次不等式：

  (Jxy)²＜(Ix)(Iy)、 (Jxz)²＜(Ix)(Iz)、 (Jyz)²＜(Iy)(Iz)；

由“斜轴惯量公式”或“椭圆判别式”得之。

五、斜轴转动惯量公式：

I=Ixcos²α+Iycos²β+Izcos²γ-2Jxycosαcosβ-2Jxzcosαcosγ-2Jyzcosβcosγ

其中，I为通过坐标系原点的斜轴转动惯量，cosα、cosβ、cosγ分别为斜轴在x、y、z轴上的方向余弦。

六、惯性主轴位置方程(回转曲率方程)：

     x²Ix+y²Iy+z²Iz=m+2xyJxy+2xzJxz+2yzJyz.

1、方程坐标（x，y，z）是表示斜轴回转曲率矢量。

2、其惯性椭球面的对称轴即为物体关于椭球中心(坐标系原点)的惯性主轴。

七、令a=Ix、b=Iy、c=Iz、f=Jyz、g=Jxz、h=Jxy，

         A=a+b+c、B=ab+ac+bc-f²-g²-h²、C=abc-2fgh-af²-bg²-ch²，

则三次方程x³-Ax²+Bx-C=0存在三个正根的充要条件：

①A＞0、B＞0、C＞0，②(AB-9C)²≤4(A²-3B)(B²-3AC)

设三正根为：x3≥x2≥x1＞0，

则惯性椭球面的三个半轴（三个惯性主轴的回转曲率）为：

长半轴：√(m/x1)

中半轴：√(m/x2)

短半轴：√(m/x3)