(一)基本公式:
(1)ζ(s,a)=∑(n=0…∞)(n+a)-s.(s>1,0<a≤ 1)
(2)ζ(-N,a)=(-1)BN+1(a)/(N+1)
(3)ζ(s,m/N)=2s(Nπ)s-1Γ(1-s)∑(k=1…N)[sin(πs/2+2πkm/N)ζ(1-s,k/N)]
(4)ζ(s,1)=ζ(s)=∑(n=1…∞)n-s.(s>1)
ζ(s)=2sπs-1sin(πs/2)Γ(1-s)ζ(1-s)
(5)∑(k=1…N-1)ζ(s,k/N)=(Ns-1)ζ(s)
(6)∑(k=1…N)ζ[s,(2k-1)/(2N)]=Nsζ(s,1/2)
(二)差和公式:
(1)μ(s)=∑(n=0…∞)[(3n+1)-s-(3n+2)-s](s>0)
μ(s)=(√3)(2/3)sπs-1cos(πs/2)Γ(1-s)μ(1-s)
(2)ε(s)=∑(n=0…∞)[(4n+1)-s-(4n+3)-s](s>0)
ε(s)=(π/2)s-1cos(πs/2)Γ(1-s)ε(1-s)
(三)李氏定律:
ζ(2n+1)与μ(2n)和ε(2n)如同Γ(1/3)一样无简化值。
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