单治超 遇见数学 2023-05-30 20:03 发表于河南
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作者：单治超，本文来自单治超老师科学网博客。[遇见数学]已获转发授权，并补充文中配图。
函数是数学中的重要概念。其重要性不仅体现在数学内部，其他用到数学的学科都会用到函数。（就我所知是这样，如因本人才疏学浅有所遗漏，欢迎批评指正。）
什么是函数？说白了，函数就是变量之间的依赖关系。这句简短的话已经揭示了函数的本质，但严谨性和抽象程度远远不够。
人教 B 版高中数学教材必修第一册如是写道：
我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么就称 是 的函数。
初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中的两个实例可知（注：分别是中国创新指数 关于年度值 的函数，心电图测量的指标值 关于 的函数），但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等。
一般地，给定两个非空实数集 与 ，以及对应关系 ，如果对于集合 的每一个实数 ，在集合 中都有唯一确定的实数 与 对应，则称 为定义在集合 上的一个函数，记作 , 属于 ，其中 称为自变量， 称为因变量，自变量取值的范围（即数集 ）称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合 属于 $B, 属于 称为函数的值域。
函数的这种定义强调的是这种“对应关系”。
以下我把初中的函数定义称为“变量说”，高中的函数定义称为“关系说”。函数定义从变量说到关系说是一个上升，这一点无可非议。但是为什么是一个上升？很多解释不够充分，至少不能令我信服。
请问变量说的定义中有哪句话提到解析式了吗？“……， 都有唯一确定的值与其对应”，这里面要求 必须表示成 的式子了吗？初中讲做函数图像时要列表，描点，连线。请问用列表法和图像法表示的函数，变量说就解释不了吗？
如果采用变量说，难道就不能先取定一个集合 ，再限定变量 取值于集合 吗？限制变量的取值范围是由于集合论创立带来的强大功能。只要有了集合论，在变量说的框架下同样有能力限定变量的取值范围。
以单调性为例，当变量 落在 内时，如果 的取值越大，那么 的取值越大，就称 在 上是 的增函数。这么说有什么不清楚的吗？初中不就是这么说的吗？只不过不叫单调性，而叫增减性而已。
再比如最值。函数的最值可以理解为值域的最值。只要有了集合论，基于变量说我同样可以定义值域。现在值域已经是一个数集了，只需要再定义数集的最值就能够定义函数的最值了。这也不依赖于关系说啊？
基于以上分析，我认为这三种解释都不足以令我信服。
直到我对函数概念的发展历史有了一点了解后，我才找到这个问题能够令我自己信服的解释。
函数概念最早在伽利略，笛卡尔和牛顿等科学大师的研究中出现萌芽。1673 年，莱布尼茨首次使用了函数的英文词汇 function. 1718 年，约翰·伯努利把函数定义为由任一变量和常数的任一形式所构成的量，并强调函数要用公式来表示。1821 年，柯西引入了函数定义的变量说，表述与现代的变量说相似。柯西首次使用了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。（这句话回应了我前文提出的观点：变量说并不排斥没有解析式的函数）
1837 年，狄利克雷的函数定义不再拘泥于“变化”，与现代的关系说比较类似。只是此时集合论尚未创立，定义域只能是区间。康托尔创立集合论之后，定义域得到一般化。1914 年，豪斯多夫利用“序偶”概念说清了什么是“对应关系”。1921 年，库拉托夫斯基用集合定义了“序偶”。至此，函数的概念实现了彻底的数学化。
当然我读的数学史文献不够，也许上面的理解有失偏颇，欢迎读者指出。如果我上面的理解大致正确，那么函数的定义从变量说上升到关系说的关键节点在于狄利克雷。狄利克雷是人类历史上的一位著名数学家，学过高等数学的人也都学过狄利克雷判别法，狄利克雷准则等以狄利克雷名字来命名的定理。但是如果说以狄利克雷名字命名的最著名的数学术语，那肯定是狄利克雷函数。狄利克雷函数是在有理数集上取 1，无理数集上取 0 的函数。这个函数的图像画不出来，物理意义很难想象，如果采用变量说就说不清狄利克雷函数算不算一个函数，因为变量说中的变量天然就有物理意义。（见本文开头：变量是某个变化过程中的量）但是如果采用关系说，狄利克雷函数就无可非议地是个函数。
总结起来，我认为函数定义从变量说到关系说是一个上升，是因为关系说中抛弃了变量的实际意义。虽然关系说的函数定义中也有自变量和因变量，但是它们可以没有实际意义。从变量说到关系说，抽象程度的确是大大提升，我们可以接受没有任何现实物理意义的函数存在。集合论创立之后，函数的定义域可以不限于区间而更为一般化，但这个推广迈进的步伐没有关系说的建立那么大。至此，唯一没有完全数学化的概念就是“对应关系”，尽管这个概念也已经足够抽象。最后序偶的定义为函数定义的最终完善画上了圆满的句号。函数定义实现了完全的严谨，彻底的抽象。
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