三、数学与生活联系应抓住生活问题数学化
学习系统的数学知识和密切联系实际，这两者的关系六十年来一直有争论，一个时期强调前者，一个时期又强调后者，左右摇摆不定。
我们应该理直气壮地坚持：小学生的主要任务，是学习系统最基本的数学知识。当然，数学来源于生活，来源于实际问题，应该把学习数学知识同生活实际联系起来。我认为对小学生来说，主要应该从完成学习系统数学基础知识的角度看问题，联系实际是为了更好地理解和掌握数学知识，不能破坏数学知识的系统性，不能削弱数学知识的学习。六十年代初的教育大革命以及后来的文化大革命中，过分强调联系实际、政治挂帅，把数学知识弄得支离破碎，数学质量严重下滑，历史的教训必须记取。
现在有两种提法：数学问题生活化和生活问题数学化。这两种提法粗看差不多，事实上是两种不同的教育理念。数学问题生活化，是把数学问题落实到生活化，以为生活中有的就学，生活中没有就不该学，这样认识问题是片面化、庸俗化的。生活问题数学化，这是指生活问题通过数学建模上升到数学问题。我主张提“生活问题数学化”，因为它落实到数学化，抓住数学教学的本质。正如国际著名数学教育家弗赖登塔尔说过：“没有数学化就没有数学”（3）。
数学来源于生活，但不等于生活问题就是数学问题，也不等于数学问题都是生活问题。例如有一道非常简单的应用题：“黄花有8朵，红花比黄花多2朵，红花有几朵？”这样的问题在生活中是不存在的，因为先要知道红花有几朵，才能知道红花比黄花多2朵。在文革中曾批判这类题目严重脱离实际。但是，它可以作为数学问题存在，上升到数学模型就是“求比一个数多几的逆命题”。又如在春节联欢晚会上姜昆说过一段相声，讽刺数学书上一道题：“有一个水池，打开进水管注满水池要3小时，打开出水管放完整池水要2小时。现在同时打开进水管和出水管，要多少时间才能把一池水放完？”在日常生活不可能同时打开出水管和进水管，真是吃饱了撑着，没事干，引得哄堂大笑。这样的问题在实际生活中不可能有，但可以把这种现象上升到数学问题，建立一种数学模型，就成为一种“动态平衡”的数学问题，而且有着广泛的应用。例如，牧场牛吃草，牛在一边吃草，要考虑到另一边的草正在生长；人的新陈代谢，一边在消耗能量，一边又在制造新的能量。过去应用题教学中有自编应用题、看图编题、根据情境编题、根据实物演示编题等都是要求学生把生活问题上升到数学问题的一种训练。
从新世纪开始的数学新课改中，取消应用题的提法，改为“解决问题”（有时又叫“问题解决”），作为一项重大的改革。近十年来，教师迷茫，争论不休。为什么通俗易懂，大家都明白的“应用题”提法，非要改成深奥莫测，大家很难弄明白的“解决问题”呢？据说主要原因有二：一是同国际接轨，因为美国人提“解决问题”，我们也得跟着改，二是原有应用题太陈旧，非得改。
稍有点逻辑常识的人都会看出：“解决问题”是一种领域，好比“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”等；应用题是一种题型，好比计算题、文字题、图形题。两者之间不是并列关系，而是上下从属关系。应用题是属于“解决问题”领域中的一种题型，这样就能说得通了，大部分教师也会接受。应用题无非是一种题型，为什么非得斩尽杀绝，把它逐出小学数学之外呢？
说原有应用题教学太陈旧，这也不符合事实。改革开放以后，经历了1978年大纲、1986年大纲和1992年大纲，20多年来对应用题教学进行不断改进，不断完善，不断创新，取得令世人瞩目的发展。当时有10多种实验课本，各个编写组都在尽力改革原有的应用题体系，设计各种新型应用题内容和形式。广大教师也在教学实践中不断改革教法，逐渐形成一套行之有效的解题策略，有力地促进学生的数学思维的发展。
我是亲自参与实践和研究的，是一个见证人。根据儿童学习数学的规律，提出：“应用题要过关必须抓审题”的观点，提高学生分析问题和解决问题的能力。八十年代，我主持了应用题基本训练的研究，对常用的数量关系、解题思路、题目结构以及解题方法进行经常性训练，每堂课只用5分钟，用分散性训练方法，达到解决应用题难点问题。后来集中了许多优秀教师的力量编写了全套（1－6年级）《应用题基本训练册》，把应用题基本训练序列化，科学化。应用题解题策略的研究，把数学思想方法引进到应用题教学中，特别重点研究了线段图的作用和使用。
这个时期，全国各地的研究风气很盛，涌现出大量应用题教学的研究成果。我们应该认真总结改革开放20多年来的经验，在此基础上继续新的改革，走自己的路，而不是按照国外的理论和做法推倒重来，重砌炉灶。
四、四则运算能力是小学数学教学中的重要能力
我对小学数学教学的研究是从口算教学开始的。五十年代我当农村小学教师的时候，遇到一个头痛的问题，学生经常算错，考试成绩很差。我一再告诫学生不要粗心，不能做错，可是学生还是经常算错，考试成绩很差。我冥思苦想也想不出什么道理。
有一次，我买到一本苏联普乔柯的《算术教学法》，真是欣喜若狂。书中说，口算教学有着非常重要的意义，加强口算练习可减少学生计算错误。书中介绍了一种口算练习条，使用后我发现不方便，不过由此受到启发，开始设计口算表。边使用，边改进，后来在《江苏教育》（1956.23）上发表了。我考入华东师大教育系后，继续研究，完成全套《小学数学口算表》，直到1979年才由上海教育出版社正式出版，这本只有几十页的小册子，却花费了近30年的时间。
华东师大毕业后，我在附小搞教学实验研究，发现许多教师总认为小学生主要用笔算，多练笔算就行了。由此，我决定搞“基本口算与笔算相关问题的研究”。主要采用调查测试和个别观察分析的方法。在上海、安徽、湖北、广东、河南的39所学校，158个班级，7134名学生（包括四、五、六年级）进行调查测试。调查测试的结果表明：基本口算速度快，笔算速度也快，正确率也高；反之，基本口算速度慢，笔算速度也慢，正确率也低，有着非常显著的的正相关现象（相关系数是0.760—0.763）。对学生的笔算错误加以分析，发现笔算中绝大部分的错误是由于基本口算不熟练而造成的。这次调查实验研究探索到两条儿童学习数学的规律：“口算是笔算的基础”“计算要过关，必须抓口算”（4）。
八十年代，有些学校受“文革”期间三算结合教学的影响，对口算速度提出高指标，认为越快越好，导致加重学生的负担。学生的口算能力高低应该有一个尺度来衡量，也就是要制定出标准。有了一个标准，学生就有了奋斗的目标，教师也能做到心中有数。学生的口算能力没有达到标准，应该加强练习；已经熟练了，训练的时间可以减少，把剩下的时间用于其他方面的训练。
制定口算表的标准，既要照顾到培养学生良好计算能力的要求，但又不能脱离学生的实际情况，这是一项极其复杂艰巨的系统工程。我组织了京、沪、津、苏、浙、皖、蒙、疆等十六个省、市、自治区的100多位教研员和教师参加协作研究组。受测学生达72000多人次。
在调查研究的基础制定出11张口算表，并在教学实际中使用，再根据使用的情况，不断修改调整，每张量表有及格标准和优秀标准。由于我国幅员辽阔，各地教学水平和学生的基础不一，因此制定的标准可以有一个幅度，不要一刀切。例如，以5分钟做对题数为准，20以内加减法量表的及格标准是60—70，优秀标准是80—90。这项口算量表的研究成果，在《人民教育》（5）发表后，引起全国小学数学教育界很大的反响。
我从几十年对小学生计算能力的研究中得到启示，要探索小学生学习数学的奥秘，必须坚持科学发展观，走深入调查研究的道路。不能心血来潮，信口开河。现在有些人忌讳提“加强计算”，更不敢提“训练”。
2008年末，在济南举行“全国小学数学名师教学风采展示活动”。主办方邀请我做讲座，而且还非要我上一堂课。其实我不是“学数学名师，而是为了推介尝试教学法偶尔上点研究课。我主张上真实创新的课，没有刻意自己选择课题，而是根据借班的教学进度上四年级“除数是两位数的除法”。当下名师的观摩课大都喜欢上几何图形内容的课，如“角的认识”、“三角形面积计算”、“圆的周长”、“圆周率”等，这种课可以有精彩的情景的导入，能够渗透数学思想，还能传递数学文化，大都会赢得观众的满堂喝彩。一般都不愿意上计算课，这种课内容单调，很难出采，弄得不好还要被人批评同新课改背道而驰”。我思考良久，大家都不敢上，我就带个头。
那天上课，恰好我重感冒高烧刚退，为了使大会不受影响，我还是坚持上。这堂课的教学过程大致是这样的：学生已经学过“除数是整十数的除法”，在此基础上再学“除数是两位数除法”，完全可以让学生自学，再尝试练习，然后小组派代表上台当“小先生”，讲解两位数除法的计算过程以及计算时的注意点，小组之间相互评议，最后教师点拨总结。学生初步掌握了两位数除法的计算法则后，组织学生练习，练习有不同水平和不同形式的题目，有10道两位数除法笔算题、12道试商填充题、10道口算题共计32道题。根据儿童年龄特点，采取了多种练习形式：有抢答、小组竞赛、有口答、笔答。每一次练习都做到我一贯主张的四个当堂：“当堂练习、当堂校对、当堂订正、当堂解决”。由于教师讲得很少，留出充裕时间让学生练习，这堂课几乎把课本上的题目都做完了，课外就不必布置家庭作业了。下课前我出了一道笔算除法的趣味题，提供给学生回家思考，有兴趣就做，没有兴趣可以不做。
山东临沂师范学院数学系李红婷教授听了这节课，觉得计算课同样可以体现新课改的“自主探究、合作交流、动手实践”的教育理念。同时认为这堂课，教师少讲，学生多练，通过多种形式的练习，学生既学得轻松愉快，又把课本上的题目基本做完，没有家庭作业，减轻了学生课后作业负担。因而李教授写了一篇文章介绍了这堂课并加以评论，题为：《强化计算训练就背离新课程理念吗？》（《中国教育报》2009.1.9）此文发表后,引来不少争论,有赞成的，也有批评的。有的抨击非常尖锐，题为“不要把孩子变成廉价的计算器”（6）给了一顶怪吓人的大帽子；《人民教育》（2009.20）刊载一篇文章（7）也拿这堂课说事，并引出一个当前必须弄清楚的一个严肃话题：“数学教育的核心是“数学”还是“教育””，该文的作者没有直接回答，有点含糊其词，但反对提“数学教育的核心是数学”的观点是清楚的。
当下，真正的学术争鸣较少，我的一堂课能引起大家争论是件好事，我乐意听取各方面的意见。由于本文篇幅所限，不能展开论述我的观点。不过我可以鲜明地表态：数学教育的核心是数学，在学习数学的过程中同时接受教育。
例如，在学习四则计算的过程中，不仅仅是掌握四则计算的法则，而且培养了数感、数学思维的方法，更重要的又培养了学生的认真负责、一丝不苟的工作精神以及独立思考能力、分析推理的能力。就拿上面争论的我上的“除数是两位数除数”这堂课来说，有试商专项训练题：
括号中最大能填几？【73÷（
这堂课最后我布置了一道趣味题，有时间做，没有时间也可不做：这道笔算竖式中，仅看到4个已知数，要填出9个未知数，解这道题需要比较复杂的分析推理能力。很显然，解题过程中能够有效地提高学生的智力发展水平。这样的练习难道是把孩子培养成廉价的计算器吗？
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