立足课本，培养能力

启东市汇龙中学  倪红林

当今国际数学潮流是“解决问题”，其本质是创造性地运用所学过的知识和方法去解决问题，教师在课堂教学中不但要传授知识，更要注意培养学生的能力，下面就课堂教学中如何发掘课本题目，培养学生的观察、归纳、猜想、探索能力，说说我的一些做法和体会。

一、利用课本题目的变式，提高学习的兴趣

由高中《代数》上册P176例4得

sin50o（1+ tan10o）=1                    ①

从等式①中解出括号中的1：

1 = - tan10o= -  = -  = 。

由此得到变式题1：求 的值。

解：原式=

               = =1

同理，从等式①中解出 ，有 = (2cos20o+1)tan40o-2sin20o。

由此又得到变式题2：因而得到变式1：求(2cos20o+1)tan40o-2sin20o 的值

二、观察题目间的联系，寻找规律，提高学生归纳概括能力。

例1：已知一曲线是与两定点O(0，0)，A(3，0)距离的比为1/2的点的轨迹，求这个曲线的方程。（《高中平面解析几何》第66例1）

本题的曲线的方程是 x²+y²+2x-3=0, 动点的轨迹是圆。

例2  已知点 P(8,2)、Q(8,0)，点 M 到点 P 的距离是它到点 Q 的距离的1/5，求点 M 的轨迹方程。（总复习题中的第二题）

本题点M的轨迹也是一个圆，(x-8)²+（y- ）²  =   。

请学生观察上述两例，看能发现什么规律？

经过比较观察不难得出这样一个猜想：在平面上如果一个动点到两个定点的距离的比值是一个常数，那么这个动点的轨迹是一个圆。这个结论是否正确？即看下面一题：

例3  点M到两个定点M1，M2距离的比是一个常数m，求点M的轨迹方程。 并说明轨迹是什么图形。

解：以M1M2所在直线为X轴，M1M2的中点为原点，建立直角坐标系

设M1(-a,o)、M2（a，o）、M（x，y），则点M的轨迹方程是

（1-m²）x²+（1-m²）y²+2a（1+m²）x+（1-m²）a²=0

提问：这个方程所表示的轨迹是什么曲线？

当m≠1时，方程所表示的轨迹是一个圆。

当m=1时，方程化为x=0，轨迹是一条直线。

从以上三个例子，学生会悟出这样一个规律：在平面上如果一个动点到两个定点的距离的比是一个常数A，那么当A=1时这个动点的轨迹是一条直线，当A≠1时动点轨迹是一个圆。

三、一题多解，一题多变，开拓学生的视野

例4  化简   cos²x+cos²(θ-x)-2cos(θ-x)cosθcosx

分析  一般解法是利用三角函数的和、差及和差化积等公式处理，笔者在教学时发现该题有一个几何模型：               A

如图1是圆心角θ，半径为1的圆弧 ，      Q

P为 上一点，作PQ⊥OA、PR⊥OB，                         P                                  垂足分别为Q、P，（O为圆心）

设∠POR=x，

则在Rt△OPR中，OR=cosx，           θ-x

在Rt△OPQ中，OQ=cos(θ-x) ，          x

在△ORQ中，由余弦定理得：        O                        R   B                                     

RQ²=OR²+OQ²-2OROQcosθ

          =cos²x+cos² (θ-x)-2cosxcos(θ-x)cosθ

欲化简原式，只需求RQ²的值，因RQ²的值与x无关。即只需证明RQ²的值与P点位置无关，由平几易知，O、R、P、Q四点共圆，直径OP=1，而此圆正好是△ORQ的外接圆，由正弦定理得：RQ=sinθ，

∴RQ²=sin²θ。

例5：求函数 y=sin²x+    的值域。

解法1：令 sin²x =t，则0<t≤1,

       ∵y= t+  在 上为减函数,

       ∴当t=1时，ymin=3，∴y≥3，函数值域为 。

分析：因为 t= sin²x ∈  ，所以不能直接应用均值不等式 y= t+  ≥2  ，原因是 t∈  时，t= 不成立，但我们可以考虑重新组合，使等号能够成立。

解法2：令 t= sin²x，则t∈  ，∴    ∈  ，

       ∴y= t+ = (t+ )+  ≥2+  ≥3

当且仅当t=1时，取等号，

       ∴y≥3

（本文刊自《高中数学教与学》2002年第一期）