由一个等差数列问题的变题引发的探讨
倪红林(江苏省启东市汇龙中学高中部 226200)
某次复习课讲到这样一个问题:
问题 已知数列{an}的首项a1=2,前n项和为Sn,且满足2an= SnSn—1(n≥2)n
证明:因为当n≥2时,an=Sn-Sn-1,又2an= SnSn—1(n≥2)n
所以2(Sn-Sn-1)=SnSn-1,故
故
到此为止,问题已经基本解决,考察其变题:
变题1:求上述问题中数列{an}的通项。
解:由上述证明知
这里强调an与Sn的关系,注意当n=1时不适合,必须写成分段的形式。但此时部分学生发现问题了,学生提出“an的分母怎么为零呢”?当n=2时an的分母为零了,再一看,此时Sn 的分母也为零了。
题目是有问题了,此时我并没有继续讲解下一例,而是和学生一起探讨原因。
(提问)是解答错误吗?原因是在等式的两边同除以SnSn-1使得分母为零了吗?
不是,补充理由:若存在Sn=0,则由2(Sn-Sn-1)=SnSn-1得Sn-1=0,类似可得a1=S1=0与a1=2矛盾,因而Sn≠0,所以解答没有问题。
(提问)还会是什么原因呢?
我们从求an开始查找,当n=1时,a1=2;当n=2时,得
这时清楚了,原来题目条件2an= Sn Sn—1在a1=2的条件下对n
(提问)那么,怎样修改条件2an= SnSn—1才能消除矛盾呢?
变题2:将问题中条件2an= SnSn—1改为an=2SnSn—1,
证明(略)
继续提问:若变题1中条件2an= SnSn—1不变,只改变a1=2呢?如a1=1,题目正确吗?
解:当n=1时,a1=1;当n=2时,
当n=3时,
(提问)将a1=2改为a1=3呢?
变题3:将变题1中条件a1=2改为a1=3
仿上求an都成立
解:(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1,又2an= SnSn—1(n≥2,n
若存在Sn=0,则Sn-1=0,类似可得a1=S1=0与a1=3矛盾,所以Sn≠0,从而
(2)由(1)知
当n≥2时,an=
所以
(提问)那么a1到底取什么值才正确呢?
变题4 已知数列{an}的首项为a1,前n项和为Sn,且满足2an= SnSn—1(n≥2,n
解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1,又2an= SnSn—1(n≥2,n
所以2(Sn-Sn-1)=SnSn-1
因为
从而
由Sn≠0,得
因此,a1的取值范围为{ a1|a1≠0且a1≠
由此可见,当a1=2时,题目不成立;当a1=3时;题目成立。
为了巩固课堂教学,课后作业补充思考题:已知f(x)=x|x-4|+2x-3,数列{an}满足a n+1=
遇到错题是数学教学中的一个常见现象,如果只知道错了而不知道错在哪儿和为什么错,势必对学生顺利完成整个学业过程带来干扰,影响学习能力提高,在教学过程中,教师要敢于承担错误,把错误当作宝贵的教学资源,引导学生对错题进行反思变换,减少解题失误,提高学生学习的信心和兴致。教学上的着力点应放在导上,通过启发引导,培养学生发现问题,归纳问题的能力,让学生体现成功的喜悦,提高教学效率。
倪红林,《中学数学月刊》2010年01期P38-39
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