薛定谔方程本体在此，你敢挑战吗

薛定谔方程有含时方程和定态方程两种形式，为更好地理解薛定谔方程，在此尝试用类比的方法推演薛定谔方程的引出。我们以最简单的一维定态薛定谔方程为例。由于实物粒子的定态具有量子化的特征，而在经典的波动力学中有量子化特征的只有驻波。光波中频率为ν，波长为λ沿x方向传播的平面驻波的波动方程为

若考虑不受任何外场作用的粒子，即势能为零的粒子(称为自由粒子)，其动量p和能量E都是常数，将德布罗意关系式

代入，则得

此式不再是描述经典的平面波，而是描述自由粒子一维运动状态的德布罗意波。

将方程两边对x求导得

再次对x求导得

令

​

由于动能为

代入整理得

自由粒子一维运动的定态薛定谔方程，m为质量。

如果粒子势能不为零，而只是坐标的函数V=V(x)，系统能量E=T+V，动能T=E-V，代入方程得

采用类似方法，可以从三维驻波波动方程引出描述实物粒子三维运动的定态薛定谔方程

令

称为Laplace算符，则定态薛定谔方程可改写为

令

称为哈密顿算符，可得到定态薛定谔方程

用量子力学来解决定态实际问题时，首先要写出微观粒子系统的势能函数。然后，将它代入定态薛定谔方程中，通过求解，得到具体的定态波函数。所求得的每一个解表示该微观粒子系统的某一种稳定状态,与这个解相对应的能量E，就是该微观粒子系统在此稳定状态时的总能量。