趣味数学——用折纸法画椭圆

       今天我们再来介绍用折纸法画椭圆的方法，方法很画抛物线非常类似。昨天我们用矩形通过不断的折叠得到了抛物线，今天我们是要用圆形纸片，通过类似的方法来折叠出椭圆。
      折纸法画椭圆方法
      1：先准备一个圆形纸片，在纸片中间(不能是中心点)确定一点P.
      

      2：开始折叠圆，将圆折起一角，使得圆周正好过点F
      

      3： 如此，便有了一折痕L，我们当然知道，这样的折叠可以有很多种方式，这样继续折下去，你将得到若干条折痕，将每一条折痕都用笔标记出来，你会发现，这些折痕衬托出了一个椭圆的轮廓：
      

      4： 接下来的事情就很简单，你画一条曲线，使之和每一条折痕相切就行了，得到的曲线就是以F和圆形O为焦点的一个椭圆。所用的方法和我们昨天用矩形纸片折抛物线的时候是非常的类似。当然，下面我们就应该证明为何得到的曲线就是椭圆。
      折纸法画椭圆的证明
      

      首先我们要知道的是，因为F异于O点，所以若以F和O为焦点，那么可以画一个椭圆，设这个椭圆为C。如上图所示，考虑其中一条折痕，做F点关于折痕对称的点M，显然M应该在圆周上，连接MO，交折痕于P，这个P点就是我们的重点了。根据对称性，PF=PM，所以PF+PO=PM+PO=MO=r。也就是说，P点到F和O点的距离之和是个与折痕无关的常数，所以P点应该在椭圆C上。另一方面，考虑异于P的Q点，可以很容易看出，QF+QO并非一个常量，所以Q点不在椭圆C上，也就是说，折痕于椭圆C只有一个交点P，该折痕就是椭圆C的一条切线，同理，每一条折痕都是椭圆C的切线，众多切线包围住椭圆，也就显示出其轮廓，这正是我们折纸法折出椭圆的原理。
       文章来源：学夫子数学博客