多边形内角和的简易算法

 本文所论述的观点是我在写作业过程中偶然发现的一个规律，老师在课堂中从未涉及，碰到类似的题目时一般来讲也是就题论题，并没有一个普遍应用的公式，希望通过这篇文章对大家能有一个小小的帮助，节省一些时间而已。

　　数学课上老师讲过：任意一个三角形其内角和为180°。这是经过前人论证的定理，不需要我们再次论证，但是数学是千变万化的，大千世界也不仅仅只有三角形，我们更不能停留在这一简单的定理上。那么多边形的内角和如何计算？能不能总结出一个相关公式，做起题来简单方便呢？我就曾经作过这样一道思考题：计算下面各个图形的内角和。

　　解题方法

　　我们知道三角形三个内角的度数和是180°，那么不规则的四边形内角和是多少呢？我们常用的方法是通过做辅助线，可以看出四边形可以分成两个三角形，这样任意一个四边形的内角和不就是两个三角形内角和了吗？

　　内角和就是180°×2=360°。

　　五边形可以做两条辅助线，把五边形分成三个三角形

　　内角和就是180°×3=540°

　　六边形可以做三条辅助线，把六边形分成四个三角形

　　内角和就是180°×4=720°

　　同样的道理我们可以得出七边形、八边形……的内角和。

　　如果是任意一个多边图形呢？比如78边形56边形。我们当然还可以用这种方法，但是做起来可是相当繁琐，会浪费大量的时间。

　　按照老师教给我的推理方法，我还要找出它们的普遍规律。根据下列算式我发现它们之间似乎存在着一定的联系：

　　三角形的内角和度数是180?×1=180?

　　四边形的内角和度数是180?×2=360?

　　五边形的内角和度数是180?×3=540?；

　　六边形内角和的度数是180?×4=720?；

　　七边形内角和的度数是180?×5=900?；

　　八边形内角和的度数是180?×6=1080?

　　从上边的几组数字我们可以看出：五边形可以分成三个三角形：六边形可以分成四个三角形；一个七边形可以分成5个三角形；一个八边形可以分成6个三角形。其中的规律显而易见，非常简单了，多边形的边数减2即等于我们所需要的三角形的个数。

　　再用三角形的个数×180°就可以求出多边形内角和。

　　所以    78边形的内角和是（78-2）×180°=13680°

　　56边形的内角和是（56-2）×180°=9720°

　　结论

　　我们还需要对以上过程进一步整理：

　　设多边形的边数为n，（而且n要大于等于3，只有这样图形才有意义）

　　得到n边形内角和的度数是

　　180°×(n－2)，（n≥3）。

　　应用这一公式大大减少了制图、计算等繁琐易错的步骤，只要知道多边形的边数，即可轻松计算出其内角和。

　　另外希望大家还能发现这个公式在几何中其它更大的作用。